矩陣快速求冪

在只使用標准庫的情況下，c++沒有現成的處理矩陣的標准庫，所以矩陣的運算就比較麻煩，尤其是矩陣的乘法

加減法都可以對應位置做加減，乘法的運算相對比較復雜，冪運算又會帶來的大量的乘法運算，所以這里記錄一種

矩陣快速求冪的方法。這種方法可以將運算降低至指數次，原理是這樣的：

1.矩陣A的m次方，先把m分解成二進制數，然后二進制的對應為轉換為十進制，就可以將m分解為2的冪指數相加，例如：10 = 8 + 2； 22 = 16 + 4 + 2；

2.按照2的冪指數從小到大依次開方，然后二進制數對應為1的位數相加，就可以得到答案了

接下來是代碼，這里用存放鏈表的鏈表來表示矩陣:

#include <iostream>
#include <vector> 
using namespace std;

typedef vector<int> vec;
typedef vector<vec> mat;

//矩陣做乘法 
mat mul(mat &A, mat &B){
    //生成一個大小為A.size * B[0].size 的矩陣C 
    mat C(A.size(), vec(B[0].size()));    
    for (int i=0; i<A.size(); i++){
        for (int k=0; k<B.size(); k++){
            for (int j=0; j<B[0].size(); j++){
                C[i][j] += A[i][k] * B[k][j];
            }
        }
    }
    return C;
}

//矩陣快速求冪, n為指數 
mat mpow(mat A, int n){
    mat B(A.size(), vec(A.size()));
    for (int i=0; i<A.size(); i++){
        B[i][i] = 1;
    }
    
    while (n>0){
        if (n&1) B = mul(B, A);
        A = mul(A, A);
        n >>= 1;
    }
    return B;
}


int main(){
    
    int n;
    cin>>n;
    //利用矩陣求冪求斐波那契數列
    mat A(2, vec(2));
    A[0][0] = 1; A[0][1] = 1; A[1][0] = 1; A[1][1] = 0;
    A = mpow(A, n);
    cout<<A[1][0]<<endl; 
    return 0;
}