矩陣 快速冪

矩陣的快速冪是用來高效地計算矩陣的高次方的。將朴素的o（n）的時間復雜度，降到log（n）。

這里先對原理（主要運用了矩陣乘法的結合律）做下簡單形象的介紹：

一般一個矩陣的n次方，我們會通過連乘n-1次來得到它的n次冪。

但做下簡單的改進就能減少連乘的次數，方法如下：

把n個矩陣進行兩兩分組，比如：A*A*A*A*A*A  =>  (A*A)*(A*A)*(A*A)

這樣變的好處是，你只需要計算一次A*A，然后將結果(A*A)連乘自己兩次就能得到A^6，即(A*A)^3=A^6。算一下發現這次一共乘了3次，少於原來的5次。

其實大家還可以取A^3作為一個基本單位。原理都一樣：利用矩陣乘法的結合律，來減少重復計算的次數。

以上都是取一個具體的數來作為最小單位的長度，這樣做雖然能夠改進效率，但缺陷也是很明顯的，取個極限的例子（可能有點不恰當，但基本能說明問題），當n無窮大的時候，你現在所取的長度其實和1沒什么區別。所以就需要我們找到一種與n增長速度”相適應“的”單位長度“，那這個長度到底怎么去取呢？？？這點是我們要思考的問題。

有了以上的知識，我們現在再來看看，到底怎么迅速地求得矩陣的N次冪。

既然要減少重復計算，那么就要充分利用現有的計算結果咯！~怎么充分利用計算結果呢？？？這里考慮二分的思想。。

大家首先要認識到這一點：任何一個整數N，都能用二進制來表示。。這點大家都應該知道，但其中的內涵真的很深很深（這點筆者感觸很深，在文章的最后，我將談談我對的感想）！！

計算機處理的是離散的信息，都是以0,1來作為信號的處理的。可想而知二進制在計算機上起着舉足輕重的地位。它能將模擬信號轉化成數字信號，將原來連續的實際模型，用一個離散的算法模型來解決。  好了，扯得有點多了，不過相信這寫對下面的講解還是有用的。

回頭看看矩陣的快速冪問題，我們是不是也能把它離散化呢？比如A^19  =>  （A^16）*（A^2）*（A^1），顯然采取這樣的方式計算時因子數將是log(n)級別的(原來的因子數是n)，不僅這樣，因子間也是存在某種聯系的，比如A^4能通過(A^2)*(A^2)得到，A^8又能通過(A^4)*(A^4)得到，這點也充分利用了現有的結果作為有利條件。下面舉個例子進行說明：

現在要求A^156,而156(10)=10011100(2) 

也就有A^156=>(A^4)*(A^8)*(A^16)*(A^128)  考慮到因子間的聯系，我們從二進制10011100中的最右端開始計算到最左端。細節就說到這，下面給核心代碼：

while(N)
 {
                if(N&1)
                       res=res*A;
                n>>=1;
                A=A*A;
 }

里面的乘號，是矩陣乘的運算，res是結果矩陣。

第3行代碼每進行一次，二進制數就少了最后面的一個1。二進制數有多少個1就第3行代碼就執行多少次。

好吧，矩陣快速冪的講解就到這里吧。在文章我最后給出我實現快速冪的具體代碼（代碼以3*3的矩陣為例）。

現在我就說下我對二進制的感想吧：

我們在做很多”連續“的問題的時候都會用到二進制將他們離散簡化

1.多重背包問題

2.樹狀數組

3.狀態壓縮DP

……………還有很多。。。究其根本還是那句話：化連續為離散。。很多時候我們並不是為了解決一個問題而使用二進制，更多是時候是為了優化而使用它。所以如果你想讓你的程序更加能適應大數據的情況，那么學習學習二進制及其算法思想將會對你有很大幫助。

最后貼出一些代碼供大家學習，主要起演示的效果：

#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <iostream> 
using namespace std;

int N;

struct matrix
{
       int a[3][3];
}origin,res;


matrix multiply(matrix x,matrix y)
{
       matrix temp;
       memset(temp.a,0,sizeof(temp.a));
       for(int i=0;i<3;i++)
       {
               for(int j=0;j<3;j++)
               {
                       for(int k=0;k<3;k++)
                       {
                               temp.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j];
                       }
               }
       }
       return temp;
}

void init()
{
     printf("隨機數組如下:\n");
     for(int i=0;i<3;i++)
     {
             for(int j=0;j<3;j++)
             {
                     origin.a[i][j]=rand()%10;
                     printf("%8d",origin.a[i][j]);
             }
             printf("\n");
     }
     printf("\n");
     memset(res.a,0,sizeof(res.a));
     res.a[0][0]=res.a[1][1]=res.a[2][2]=1;                  //將res.a初始化為單位矩陣 
}

void calc(int n)
{
     while(n)
     {
             if(n&1)
                    res=multiply(res,origin);
             n>>=1;
             origin=multiply(origin,origin);
     }
     printf("%d次冪結果如下：\n",n);
     for(int i=0;i<3;i++)
     {
             for(int j=0;j<3;j++)
                     printf("%8d",res.a[i][j]);
             printf("\n");
     }
     printf("\n");
}
int main()
{
    while(cin>>N)
    {
            init();
            calc(N);
    }
    return 0;
}

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