矩陣快速冪

一、例：

斐波那契數列

 

第一個矩陣是轉移矩陣記為s，第二個矩陣是當前狀態dp[n]，等號右邊是下一狀態記為dp[n+1]；

二、當需要遞推K次時：

s的K次方*dp[1]=dp[K]；

所以s可以利用快速冪的思想來求（注意：快速冪以2為底倍增，事實上你可以用任何大小作為底，只要能更快的求出你想要的結果；詳見牛客多校2019-8-1第五場 B）

 

一些簡單的遞推式：

1.f(n)=a*f(n-1)+b*f(n-2)+c；（a,b,c是常數）

 

2.f(n)=c^n-f(n-1) ；（c是常數）

 

 

三、板子：

1. struct Mat { ///結構體，矩陣類型
       int m[M][M];
   } res,e;
   void init_e(){
       //整數快速冪默認的ans是1，矩陣的話ans應為單位矩陣
       for(int i=1;i<=n;i++) {
           for(int j=1;j<=n;j++) {
               if(i==j)
                   e.m[i][j]=1;
               else
                   e.m[i][j]=0;
           }
       }
   }
   Mat Mul(Mat a,Mat b,int n) {
       Mat tmp;//定義一個臨時的矩陣，存放A*B的結果
       for(int i = 1; i <= n; i++) {
           for(int j = 1; j <= n; j++) {
               tmp.m[i][j] = 0;
           }
       }
       for(itn i=1; i <= n; i++) {
           for(int j = 1; j <= n; j++) {
               for(int k = 1; k <= n; k++) {
                   tmp.m[i][j] += a.m[i][k]*b.m[k][j];
               }
           }
       }
       return tmp;
   }
   ///矩陣快速冪，求矩陣res的N次冪
   Mat Mat_qpower(Mat base,int K){
       res=e;
       while(K) {
           if(K&1)
               res=Mul(res,base);
           base=Mul(base,base);
           K=K>>1;
       }
       return res; 
   }