在計算 xn 時，我們會怎么算呢？如果只是x * x * x * ... * x 這樣每個數乘起來計算 n 次的的話，雖然算法簡單，但是復雜度為 O(n) ，往往不能滿足要求。讓我們來考慮加速冪運算的方法。
如果 n = 2k ，可以將其表示為 xn = ((x2)2)... ，只要做 k 次平方運算就可以輕松求得。由此我們想到，先將 n 表示為2的冪次的和 n = 2k1 + 2k2 + 2k3 + ... ，就有 xn = x2^k1 x2^k2 x2^k3 ... ，只要在依次求 x2^i 的同時計算就好了，最終得到了 O(logn) 計算冪運算的算法。比如計算x22，可以把 x22 表示為 x2 * x4 * x16 （22轉成二進制是10110）。在進行冪運算時，往往因為結果數字過大，而讓我們輸出取余后的結果。下面是一段參考代碼：
1 typedef long long ll; 2 3 ll mod_pow(ll x,ll n,ll mod){ 4 ll res = 1; 5 while(n>0){ 6 if(n&1) res = res * x % mod; //如果二進制最低位為1，則乘上x^(2^i) 7 x = x * x % mod; //將x平方 8 n >>= 1; 9 } 10 return res; 11 }
代碼還是很容易理解的，先把n轉化成二進制表示，然后每一位開始依次計算。如果二進制最低位為1，那么就將結果乘上x2^i ( i 的值取決於現在算到哪一位，如果是第0位則 i = 0）。每次將x平方，然后將n右移一位，繼續下一位的計算。比如計算x22，就先把22轉化成10110，最低位是0，res不變，x變成x2，右移變成1011；最低位是1，res乘上x2，x2再變為x4（也就是x2^2），右移變成101；最低位是1，res乘上x4，x4再變為x8，右移變成10……依次類推，最終結果也就是res = x2 * x4 * x16（此處沒有考慮取余）。
---------------------------------------------下面是另一種思路。--------------------------------------------------------------
當n為偶數時有 xn = ((x2)(n/2)) ，遞歸轉為n/2的情況；n為奇數時有 xn = ((x2)(n/2)) * x ，同樣也遞歸轉為 n/2 的情況。這樣不斷遞歸下去，每次n都減半，於是可以在O(logn)時間內完成冪運算。這個比第一種似乎更容易想到也更易理解，下面給出代碼：
1 typedef long long ll; 2 3 ll mod_pow(ll x,ll n,ll mod){ 4 if(n == 0) return 1; 5 if(n == 1) return x % mod; 6 ll res = mod_pow(x * x % mod, n / 2, mod); 7 if(n & 1) 8 res = res * x % mod; 9 return res; 10 }
還有一種非常類似的，f(x,n) = xn，x為奇數那么f(x,n) = f(x,n/2) * f(x,n/2) *x，x為偶數那么f(x,n) = f(x,n/2) * f(x,n/2)。
1 ll f(int x,int n){ 2 if(n==0) return 1; 3 if(n==1) return x; 4 if(n&1) return f(x,n>>1)*f(x,n>>1)*x; //如果n是奇數 5 else return f(x,n>>1)*f(x,n>>1); //如果n是偶數 6 }