快速冪取模算法

所謂的快速冪，實際上是快速冪取模的縮寫，簡單的說，就是快速的求一個冪式的模(余)。在程序設計過程中，經常要去求一些大數對於某個數的余數，為了得到更快、計算范圍更大的算法，產生了快速冪取模算法。我們先從簡單的例子入手：求a^bmodc

算法1.直接設計這個算法：

int ans = 1;
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
   ans = ans * a;
}
ans = ans % c;

缺點：這個算法存在着明顯的問題，如果a和b過大，很容易就會溢出。

我們先來看看第一個改進方案：在講這個方案之前，要先看這樣一個公式：a^b mod c = (a mod c)^c mod c

於是不用思考的進行了改進：

算法2.改進算法：

int ans = 1;
a = a % c; //加上這一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
   ans = ans * a;
}
ans = ans % c;

讀者應該可以想到，既然某個因子取余之后相乘再取余保持余數不變，那么新算得的ans也可以進行取余，所以得到比較良好的改進版本。

算法3.進一步改進算法：

int ans = 1;
a = a % c; //加上這一句
for(int i = 1;i<=b;i++)
{
   ans = (ans * a) % c;//這里再取了一次余
}
ans = ans % c;

這個算法在時間復雜度上沒有改進，仍為O(b)，不過已經好很多的，但是在c過大的條件下，還是很有可能超時，所以，我們推出以下的快速冪算法。

算法4.快速冪算法：

快速冪算法依賴於以下明顯的公式：

int PowerMod(int a, int b, int c)
{
    int ans = 1;
    a = a % c;
    while(b>0) {
        if(b % 2 = = 1)
        ans = (ans * a) % c;
        b = b/2;
        a = (a * a) % c;
    }
    return ans;
}

本算法的時間復雜度為O（logb），能在幾乎所有的程序設計（競賽）過程中通過，是目前最常用的算法之一。

ps：本文參考自網絡