快速冪運算

快速冪（Exponentiation by squaring，平方求冪）是一種簡單而有效的小算法，它可以以的時間復雜度計算乘方。快速冪不僅本身非常常見，而且后續很多算法也都會用到快速冪。

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讓我們先來思考一個問題：7的10次方，怎樣算比較快？

方法1：最朴素的想法，7*7=49，49*7=343，... 一步一步算，共進行了9次乘法。

這樣算無疑太慢了，尤其對計算機的CPU而言，每次運算只乘上一個個位數，無疑太屈才了。這時我們想到，也許可以拆分問題。

方法2：先算7的5次方，即7*7*7*7*7，再算它的平方，共進行了5次乘法。

但這並不是最優解，因為對於“7的5次方”，我們仍然可以拆分問題。

方法3：先算7*7得49，則7的5次方為49*49*7，再算它的平方，共進行了4次乘法。

模仿這樣的過程，我們得到一個在  時間內計算出冪的算法，也就是快速冪。

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遞歸快速冪

剛剛我們用到的，無非是一個二分的思路。我們很自然地可以得到一個遞歸方程：

計算a的n次方，如果n是偶數（不為0），那么就先計算a的n/2次方，然后平方；如果n是奇數，那么就先計算a的n-1次方，再乘上a；遞歸出口是a的0次方為1。

遞歸快速冪的思路非常自然，代碼也很簡單（直接把遞歸方程翻譯成代碼即可）：

//遞歸快速冪
int qpow(int a, int n)
{
    if (n == 0)
        return 1;
    else if (n % 2 == 1)
        return qpow(a, n - 1) * a;
    else
    {
        int temp = qpow(a, n / 2);
        return temp * temp;
    }
}

 

注意，這個temp變量是必要的，因為如果不把記錄下來，直接寫成qpow(a, n /2)*qpow(a, n /2)，那會計算兩次，整個算法就退化為了  。

在實際問題中，題目常常會要求對一個大素數取模，這是因為計算結果可能會非常巨大，但是在這里考察高精度又沒有必要。這時我們的快速冪也應當進行取模，此時應當注意，原則是步步取模，如果MOD較大，還應當開long long。

//遞歸快速冪（對大素數取模）
#define MOD 1000000007
typedef long long ll;
ll qpow(ll a, ll n)
{
    if (n == 0)
        return 1;
    else if (n % 2 == 1)
        return qpow(a, n - 1) * a % MOD;
    else
    {
        ll temp = qpow(a, n / 2) % MOD;
        return temp * temp % MOD;
    }
}

 

大家知道，遞歸雖然簡潔，但會產生額外的空間開銷。我們可以把遞歸改寫為循環，來避免對棧空間的大量占用，也就是非遞歸快速冪。

非遞歸快速冪

我們換一個角度來引入非遞歸的快速冪。還是7的10次方，但這次，我們把10寫成二進制的形式，也就是  。

現在我們要計算  ，可以怎么做？我們很自然地想到可以把它拆分為  . 實際上，對於任意的整數，我們都可以把它拆成若干個  的形式相乘。而這些，恰好就是  、、……我們只需不斷把底數平方就可以算出它們。

我們先看代碼，再來仔細推敲這個過程：

//非遞歸快速冪
int qpow(int a, int n){
    int ans = 1;
    while(n){
        if(n&1)        //如果n的當前末位為1
            ans *= a;  //ans乘上當前的a
        a *= a;        //a自乘
        n >>= 1;       //n往右移一位
    }
    return ans;
}

 

最初ans為1，然后我們一位一位算：

1010的最后一位是0，所以a^1這一位不要。然后1010變為101，a變為a^2。

101的最后一位是1，所以a^2這一位是需要的，乘入ans。101變為10，a再自乘。

10的最后一位是0，跳過，右移，自乘。

然后1的最后一位是1，ans再乘上a^8。循環結束，返回結果。

這里的位運算符，>>是右移，表示把二進制數往右移一位，相當於/2；&是按位與，&1可以理解為取出二進制數的最后一位，相當於%2==1。這么一等價，是不是看出了遞歸和非遞歸的快速冪的關系了？雖然非遞歸快速冪因為牽扯到二進制理解起來稍微復雜一點，但基本思路其實和遞歸快速冪沒有太大的出入。