快速乘法(基於快速冪)

快速乘法的思想和快速冪的思想一樣，快速冪是求一個數的高次冪，快速乘法是求兩個數相乘，什么時候才用得到快速乘法呢，當兩個數相稱可能超過long long 范圍的時候用，因為在加法運算的時候不會超，而且可以直接取模，這樣就會保證數據超不了了。具體拿一個BestCoder的題目來示例。題目鏈接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5187

這個題先找規律，然后在求快速乘法和快速冪結合起來。題目推出來通式是：2ⁿ-2

推的過程就是一共有四種情況： 升升，升降，降升，降降，其中升升和降降最簡單，一共有兩種，復雜的就是升降和降升這兩種情況，首先來看降生，那么a_i一定是最小值，因為兩邊都算a_i了，所有當在第一個空的時候，前面一共有C_n-1¹， 后面就自動的確定了，在第二位的時候，有C_n-1²， 同理到最后C_n-1^n-2，所以加起來就是2^n-1-2,這是降升，同理升降也是這么多，所以最后結果就是(2^n-1-2) * 2 + 2 = 2ⁿ-2;下面就是快速冪了，由於題目給的n特別大，所以直接快速冪會超long long，看代碼：

#include<iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
using namespace std;
typedef long long LL;

LL fast_multi(LL m, LL n, LL mod)//快速乘法 
{
    LL ans = 0;//注意初始化是0，不是1 
    while (n)
    {
        if (n & 1)
            ans += m;
        m = (m + m) % mod;//和快速冪一樣，只不過這里是加 
        m %= mod;//取模，不要超出范圍 
        ans %= mod;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}
LL fast_pow(LL a, LL n, LL mod)//快速冪 
{
    LL ans = 1;
    while (n)
    {
        if (n & 1)
            ans = fast_multi(ans, a, mod);//不能直接乘 
        a = fast_multi(a, a, mod);
        ans %= mod;
        a %= mod;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}

int main()
{
    LL n, p;
    while (~scanf("%I64d %I64d", &n, &p))
    {
        if (n == 1)//特判一下 
        {
            printf("%I64d\n", 1 % p);
            continue;
        }
        printf("%I64d\n", (fast_pow(2, n, p) - 2 + p) % p);//這一步注意，不要為負數 
    }
    return 0;
}