數論——乘法逆元（快速冪求法）及模運算

一、快速冪

原理：

　　快速冪的原理十分簡單。

　　a^k=a^{2^0}*a^{2^1}*a^{2^2}*…a^{2^x}，其中k=2⁰+2¹+2²+…+2^x。

　　這顯然是正確的。因為任何一個數都可以表示成二進制。

　　接下去利用位運算實現即可。

代碼實現

　　模板題鏈接：快速冪

　　代碼模板如下：時間復雜度O(logk)

int qmi(int a,int k,int p)
{
    int res=1%p;
    while(k)
    {
        if(k&1)res=(long long)res*a%p;
        a=(long long)a*a%p;
        k>>=1;
    }
    return res;
}

　　值得一提的是，以上代碼在過程中取模，是基於模運算的運算規則。

　　模運算有一些很好的性質，以下列舉四條：

• 　(a + b) % p = (a % p + b % p) % p 
• 　(a - b) % p = (a % p - b % p + p) % p 
• 　(a * b) % p = (a % p * b % p) % p 
• 　(a^b) % p = ((a % p)^b) % p 

二、快速冪求逆元

乘法逆元的定義

 若整數b，m互質，並且b|a，則存在一個整數x，使得a/b≡a∗x(mod m)，則稱x為b的模m乘法逆元，記為b⁻¹(mod m)。

b存在乘法逆元的充要條件是b與模數m互質。當模數m為質數時，b^m−2即為b的乘法逆元。

　　因為在模運算中，並沒有除法的性質，即沒有(a/b)%p≠((a%p)/(b%p))%p，而乘法逆元便可以幫助我們將其轉化成乘法形式：a/b % m=a∗x % m。

　　由乘法逆元的定義我們可以推出如下結論：

∵ a/b mod p = a * b^-1 mod p = a/b * b * b^-1 mod p

∴ b * b^-1 ≡ 1（mod p）

費馬小定理

若p是一個質數，且整數a不是p的倍數（a與p互質），則有a ^p-1 ≡ 1（mod p）。

　　基於這個定理，我們就可以推出如下結論：

 ∵ a ^p-1 ≡ 1（mod p）

∴ a * a ^p-2 ≡ 1（mod p）

　　因此，結合乘法逆元的定義所得到的推論以及費馬小定理，我們可以得到：a^-1 = a ^p-2（mod p）。

　　也就是說，當模數p為質數，且整數b不是p的倍數時（b與p互質），b的逆元即為b ^p-2。

代碼實現

　　模板題鏈接：快速冪求逆元　　

　　根據上述結論，要判斷b關於模數p的乘法逆元是否存在，若存在則求出之，我們便只需要計算b ^p-2即可。而這個計算利用快速冪便可以很快解決。

　　代碼如下：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;

int qmi(int a,int k,int p)
{
    int res=1%p;
    while(k)
    {
        if(k&1)res=(ll)res*a%p;
        a=(ll)a*a%p;
        k>>=1;
    }
    return res;

}

int main()
{
    int n;scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int a,b;
        scanf("%d%d",&a,&b);
        if(a%b==0)printf("impossible\n");
        else printf("%d\n",qmi(a,b-2,b));
    }
    return 0;
}

應用

　　有了乘法逆元，我們在計數類問題中遇到(a/b)%p時，便可以轉化成((a % p) * (b^-1 % p)) % p來計算了，這樣便防止了爆int的情況出現，當然，轉化的前提是必須保證b與p互質。當p是質數時，則可以進一步轉化為((a % p) * (b ^p-2 % p)) % p。