【乘法逆元】簡單說說乘法逆元的求法

乘法逆元

一、定義

　　若在mod p意義下，對於一個整數a，有a*b≡1(mod p)，那么這個整數d即為a的 乘法逆元，同時a也為d的乘法逆元

二、求法

　　（1）.費馬小定理

　　　　當p為質數時，對於任意整數a，滿足a^p-a是p的整數倍

　　　　在mod p意義下可以表示為

　　　　　　a^p-a≡0（mod p）

　　　　　　即為a^p≡a（mod p）

　　　　　　所以a^p-1≡1（mod p）

　　　　　　即為a*a^p-2≡1（mod p）

　　　　所以a^p-2即為a在 mod p 意義下的逆元

　　（2）.擴展歐幾里得

　　　　ax≡1（mod p）可以轉化成ax+py=1的形式

　　　　那么顯然我們可以用擴展歐幾里得算法解2元一次方程解出x

　　　　擴展歐幾里得算法請戳這里~

　　（3）.O（n）遞推1~n的逆元

　　　　

　　　　我們就可以做到O（n）遞推

　　　　inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;

　　　　從某個dalao博客里盜的圖欸嘿嘿

　　（4）.O（n）求階乘的逆元

　　　　我們假設有x使得 a！x≡1（mod p）

　　　　則（a-1）！*ax≡1（mod p）

　　　　所以說（a-1）！的逆元為 ax%p

　　　　那么我們就可以先求出n！的逆元再倒推回去

　　（5）.歐拉定理

　　　　由a^φ（p）≡1 (mod p)得a^{φ（p）−1}是a的逆元 
　　　　模數不是素數時同樣適用

　　（6）.一個小推論

 　　　　（a/b）%p=（a%（bp））/ p

　　　　  證明：

　　　　　　(a/b)%p=a/b-⌊(a/b)/p⌋*p

　　　　　　　　　  =a/b-⌊a/(b*p)⌋*p

　　　　　　　　　  =a/b-⌊a/(b*p)⌋*b*p/b

　　　　　　　　　  =(a%(bp) )/p