快速冪

最朴素的求冪方法

也就是平常使用pow函數，最簡單的實現就是一直累乘，可以得到這樣的代碼：

int Pow(int a,int b){

    int ans = 1;

    for(int i = 0;i < b;i++){

        ans *= a;

    }

    return ans;

}

可以看到，算法的時間復雜度是O(n)。為了降低時間復雜度，我們可以使用快速冪算法，將時間復雜度降低到O(logn)，n是冪。

快速冪：

首先，快速冪的目的就是做到快速求冪，假設我們要求a^b,

　假設我們要求a^b，那么其實b是可以拆成二進制的，該二進制數第i位的權為2^(i-1)，例如當b==11時

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　   a ¹¹=a ^{(2^0+2^1+2^3)}

　　11的二進制是1011，11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1，因此，我們將a¹¹轉化為算 a ^{2^0}*a ^{2^1}*a ^{2^3}，也就是a ¹*a ²*a ⁸

，看出來快的多了吧原來算11次，現在算三次

那么怎么算呢

可以考慮成根據二進制的權值來求解的。那么在關於位運算的部分，我們可以逐位獲取b的位， 碰到0，就累乘，

碰到1， 就將累乘的值並且將乘到答案。由此可以得到代碼：

代碼如下：

int poww(int a, int b) {
    int ans = 1, base = a;
    while (b != 0) {
        if (b & 1 != 0)
{
            ans *= base;
}
            base *= base;
            b >>= 1;
    }
    return ans;
}

以b==11為例，b=>1011,二進制從右向左算，但乘出來的順序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，是從左向右的。我們不斷的讓base*=base目的即是累乘，以便隨時對ans做出貢獻。

　　其中要理解base*=base這一步：因為 base*base==base²，下一步再乘，就是base²*base²==base⁴，然后同理  base⁴*base⁴=base⁸，由此可以做到base-->base²-->base⁴-->base⁸-->base¹⁶-->base³².......指數正是 2^i ，再看上面的例子，a¹¹= a¹*a²*a⁸，這三項就可以完美解決了，快速冪就是這樣。

🔺快速冪取模

根據之前的博客同余定理，我們知道

（a*b）%m = （（a%m）*（b%m））%m；

其實快速冪取模也是用到這個

那么根據上面的定理可以推導出另一個定理：

(a^b) mod c = (a * a * a........)%c =  ((a%c)*(a%c)*(a%c)*.........)%c = (a%c)^b %c;

這就是快速冪取模

代碼如下：

int pow_mod(int a ,int b)
{
    int ans = 1 ;
    int base = a % c;
        while(b>0)
    {
          if(b&1!=0)
            ans = (ans *base)%c;
   　　　　 base = (base*base)%c;
   　　　　 b >>= 1;
11　　　　}
    return ans;
}