快速冪取模

我們先從簡單的例子入手：求a^b mod c = 幾。

算法1.首先直接地來設計這個算法：

int ans = 1;

for(int i = 1;i<=b;i++)

{

ans = ans * a;

}

ans = ans % c;

這個算法的時間復雜度體現在for循環中，為O（b）.這個算法存在着明顯的問題，如果a和b過大，很容易就會溢出。

那么，我們先來看看第一個改進方案：在講這個方案之前，要先有這樣一個公式：

a^b mod c = (a mod c)^b mod c

 

上面公式為下面公式的引理，即積的取余等於取余的積的取余。

證明了以上的公式以后，我們可以先讓a關於c取余，這樣可以大大減少a的大小，

於是不用思考的進行了改進：

int ans = 1;

a = a % c; //加上這一句

for(int i = 1;i<=b;i++)

{

ans = ans * a % c;

}

ans = ans % c;

這個算法在時間復雜度上沒有改進，仍為O(b)，不過已經好很多的，但是在c過大的條件下，還是很有可能超時，所以，我們推出以下的快速冪算法。

快速冪算法依賴於以下明顯的公式，我就不證明了。

 

有了上述兩個公式后，我們可以得出以下的結論：

1.如果b是偶數，我們可以記k = a² mod c，那么求(k)^b/2 mod c就可以了。

2.如果b是奇數，我們也可以記k = a² mod c，那么求((k)^b/2 mod c × a ) mod c =((k)^b/2 mod c * a) mod c 就可以了。

nt ans = 1;

a = a % c;

if(b%2==1)

ans = (ans * a) mod c; //如果是奇數，要多求一步，可以提前算到ans中

k = (a*a) % c; //我們取a²而不是a

for(int i = 1;i<=b/2;i++)

{

ans = (ans * k) % c;

}

ans = ans % c;

 

我們可以看到，我們把時間復雜度變成了O(b/2).當然，這樣子治標不治本。但我們可以看到，當我們令k = (a * a) mod c時，狀態已經發生了變化，我們所要求的最終結果即為(k)^b/2 mod c而不是原來的a^b mod c，所以我們發現這個過程是可以迭代下去的。當然，對於奇數的情形會多出一項a mod c，所以為了完成迭代，當b是奇數時，我們通過

ans = (ans * a) % c;來彌補多出來的這一項，此時剩余的部分就可以進行迭代了。

 

形如上式的迭代下去后，當b=0時，所有的因子都已經相乘，算法結束。於是便可以在O（log b）的時間內完成了。於是，有了最終的算法：快速冪算法。

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　--------摘自百度文庫

快速冪算法：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
/*朴素算法*/
/*表示a的b次冪然后對c取余的結果*/
int power1(int a, int b, int c)
{
    int res = 1;
    for (int i = 1; i <= b; i++)
        res = (res * a) % c;
    return res;
}
/*快速冪算法*/
int power2(int a, int b, int c)
{
    int res = 1;
    a %= c;
    while (b)
    {
        if (b & 1)
            res = (res * a) % c;
        a = (a * a) % c;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}
int main()
{
    int n;
    while (~scanf("%d", &n))
    {
        cout << power2(2, n, 9997) << endl;
        cout << power1(2, n, 9997) << endl;

    }
    return 0;
}