快速冪取模_C++

一、題目背景

　　已知底數a，指數b，取模值mo

　　求ans = a^b % mo

---

 

二、朴素算法（已知可跳過）

　　ans = 1，循環從 i 到 b ，每次將 ans = ans * a % mo

　　時間復雜度O(b)　　

void power(int a,int b,int mo)
{
    int i;
    ans=1;
    for (i=1;i<=b;i++)
    {
        ans*=a;
        ans%=mo;
    }
}

 

---

 

三、快速冪

　  先討論無需取模的

　　當b為偶數時：a^b=a^(b/2)*2=(a²)^b/2

　　當b為奇數時：a^b=a*a^b-1=a*(a²)^(b-1)/2

　　如   2⁸=（2²）⁴         2⁷=2*(2²)³

　　所以，我們可以如此迭代下去

　　2¹⁰=(2²)⁵=(2²)*[(2²)²]²

　　 ①       ②              ③

　　指數為10 是一個偶數，則底數2平方，指數變為一半 [ ①→② ]

　　指數為5 是一個奇數，則先將底數提出作為系數（2²），此時指數為4 是一個偶數，則底數2²再平方，指數再變為一半 [ ②→③ ]

　　歸納總結得到：

　　      當指數大於1時，若為 偶數 則將指數除以2，底數平方

                                   若為 奇數 則先提出一個為底數的系數（可直接把該系數乘進ans中），所以指數減1，然后再按照 偶數 的辦法做

　　不斷迭代下去，當指數為1時，則直接得出答案

　　最后只要將每次相乘時取模即可，時間復雜度O(log₂b)

 

inline int mi(int a,int b)
{
    int ans=1;
    a%=mo;
    while (b)
    {
        if (b&1) ans=ans*a%mo;
        b>>=1;
        a=a*a%mo;
    }
    return ans;
}

 

　　（代碼更新時間2016年11月7日17:20:54）

 

 

版權所有，轉載請聯系作者，違者必究

QQ：740929894