排列與組合公式
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從n個不同元素中任取r個，求取法個數；
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排列要求次序，組合不講次序；
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全排列：\(A^n_n=n!\)
選排列：\(A_n^r=\frac{n!}{(n-r)!}=n(n-1)...(n-r+1)\)
組合：\(C_n^r=\binom{n}{r}=\frac{n!}{r!(n-r)!}=\frac{A_n^r}{r!}\)
加法原理和乘法原理
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加法原理
完成某件事情有n類途徑，第一類途徑有\(m_1\)種方法，第二類途徑有\(m_2\)種方法，以此類推，在第n類途徑有\(m_n\)種方法，則完成這件事情共有\(m_1+m_2+...+m_n\)種不同方法。
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乘法原理
完成某件事情先后分成n個步驟，做第一步有\(m_1\)種方法，第二步有\(m_2\)種方法，以此類推，第n步有\(m_n\)種方法，則完成這件事情共有\(m_1×m_2×...×m_n\)種不同的方法。
例題
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取球問題（球是可辨的）
袋中裝有5只白球3只黑球，分別按下述方式抽取2只：
（1）無放回抽取；
（2）有放回抽取；
（3）一次抽取2只
設A=“所取兩只均為白球”，求P(A).
答：
（1）有放回抽取
基本事件總數為\(A_8^2=8×7=56\)
A中包含的基本事件數為\(A_5^2=5×4=20\)
則\(P(A)=\frac{A_5^2}{A_8^2}=\frac{5}{14}\)
（2）有放回抽取
基本事件總數為\(8^2=64\)
A中包含的基本事件為\(5^2=25\)
則\(P(A)=\frac{5^2}{8^2}=\frac{25}{64}\)
（3）一次抽取2只
基本事件總數為\(C_8^2=28\)
A中包含的基本事件數為\(C_5^2=10\)
則\(P(A)=\frac{C_5^2}{C_8^2}=\frac{5}{14}\)
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袋中有n只球，一只紅的，n-1只白的，n個人從袋中無放回地依次取出一只球。試求：第k個人取出的球是紅球的概率。
答案：設A={第k個人取出的球為紅球}
第1個位置放的球有n種可能，第2個位置放的球有n-1種可能，以此類推，基本事件總數為\(n!\)，
第k個人取出的球為紅球，則在第k個位置上放紅球，n-1個白球在其余n-1個位置上任意排列，則A包含的基本事件總數為\((n-1)!\)，則：
\[P(A)=\frac{(n-1)!}{n!}=\frac{1}{n} \] -
質點入盒模型
將n個球隨機地放入\(N(N \geq n )\)個盒子中去，設盒子容量不限，試求：
（1）指定的n個盒子中各有一球的概率；
（2）每個盒子至多有一只球的概率；
（3）n個盒子中各有一球的概率；
（4）指定的一個盒子中恰有m個球的概率
答：
將n個球放入N個盒子中，故基本事件總數為\(N×N×...×N=N^n\)
（1）指定的n個盒子中各有一個球，其基本事件數為\(n!\)，則：
\[P_1=\frac{n!}{N^n} \]（2）每個盒子中至多只有一只球，共有\(A_N^n\)種不同的方法，因此所求的概率為：
\[P_2=\frac{A_N^n}{N^n} \]（3）n個盒子可以有\(C_N^n\)種不同的選法。對選定n個盒子，每個盒子各有一個球的放法有\(n!\)種。由乘法原理，共有\(n!C_N^n\)種放法，因此所求概率為：
\[P_3=\frac{n!C_N^n}{N^n} \]（4）從n個球中任選m個球共有\(C_n^m\)種不同的方法，剩余的n-m只球落入其它盒子中共有\((N-1)^{n-m}\)種不同的方法，故：
\[P_4=\frac{C_n^m(N-1)^{n-m}}{N^n} \] -
隨機取數問題
把1，2，3，4，5諸數各寫在一張紙片上，任取其三排成自左向右的次序。求：
（1）所得三位數是偶數的概率；
（2）所得三位數不小於200的概率
答：
基本事件總數為\(A_5^3=5×4×3\)
（1）設A={所得三位數是偶數}，則：
\[P(A)=\frac{C_2^1A_4^2}{A_5^3}=\frac{2×4×3}{5×4×3}=\frac{2}{5} \]（2）設B={所得三位數不小於200}，則：
\[P(B)=\frac{C_4^1A_4^2}{A_5^3}=\frac{4×4×3}{5×4×3}=\frac{4}{5} \]
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加法公式
對任意兩個事件A、B有：
例題
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設有一批產品共100件，其中5件是次品，任取3件，求：至少有一件是次品的概率。
答：設A={任取三件至少有一件是次品}
法一：\(B_i\)={任取三件恰好有i件次品}，則：
\[\begin{split} P(A)=P(B_1\cup B_2\cup B_3)&=P(B_1)+P(B_2)+P(B_3)\\ &=\frac{C_5^1C_{95}^2}{C_{100}^3}+\frac{C_5^2C_{95}^1}{C_{100}^3}+\frac{C_5^3C_{95}^0}{C_{100}^3}\\ &=0.144 \end{split} \]法二：設\(\bar{A}\)表示任取三件全是正品，而：
\[P(\bar{A})=\frac{C_{95}^{3}}{C_{100}^3}\approx 0.856 \]則：
\[P(A)=1-P(\bar{A})\approx 1-0.856=0.144 \] -
袋中有紅、黃、白色球各一個，每次任取一只，有放回地抽三次，求：
（1）顏色全同的概率；
（2）至少一只紅球；
（3）取到的三個球里沒有紅球或沒有黃球
答：基本事件總數為\(3^3\)
（1）
\[P(顏色全同)=\frac{C_3^1}{3^3}=\frac{3}{3^3}=\frac{1}{9} \]（2）
\[P(無紅)=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}\\ P(至少一個紅球)=1-\frac{8}{27}=\frac{19}{27} \]（3）
\[\begin{split} P(無紅或無黃)&=P(無紅+無黃)\\ &=P(無紅)+P(無黃)-P(無紅且無黃)\\ &=\frac{8}{27}+\frac{8}{27}-\frac{1^3}{3^3}\\ &=\frac{5}{9} \end{split} \]
條件概率
實際生活中：已知某人艾滋檢查為陽性，求他患艾滋的概率；在摸獎中已知第一人已經或未摸到一等獎，求第二個人摸到一等獎的概率；人壽保險常常會考慮：已知某人已經活了x歲，求他還能再活y歲的概率。
設A、B是兩個事件，且P(A)>0，稱：
概率P(B|A)與P(AB)的區別與聯系
- 聯系：事件A、B都發生了
- 區別：
- 在P(B|A)中，事件A先發生B后發生；在P(AB)中，事件A、B同時發生。
- 樣本空間不同，在P(B|A)中，事件A成為樣本空間；在P(AB)中，樣本空間仍為\(\Omega\)。
例題
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袋中有10個球，其中3個黑球7個白球，依次從袋中不放回取兩球。已知第一次取出的是黑球，試求：第二次取出的仍是黑球的概率。
答：設\(A_i\)={第i次取得黑球}(i=1,2)
\[P(A_1)=\frac{3}{10},\ P(A_1A_2)=\frac{3×2}{10×9}=\frac{1}{15} \]則：
\[P(A_2|A_1)=\frac{P(A_1A_2)}{P(A_1)}=\frac{2}{9} \] -
恰有兩個小孩的家庭，若已知某一家有男孩，求這家有兩個男孩的概率；若已知某家第一個是男孩，求這家第二個也是男孩的概率。
答：
\[P(有男孩)=1-\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\\ P(有兩個男孩)=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=\frac{1}{4}\\ P(有兩個男孩|有男孩)=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{3}{4}}=\frac{1}{3}\\ P(第一個是男孩)=\frac{1}{2}\\ P(第二個也是男孩|第一個是男孩)=P(有兩個男孩|第一個是男孩)=\frac{\frac{1}{4}}{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2} \]
乘法公式
設P(A)>0，則有\(P(AB)=P(B|A)P(A)\)。一般地，若\(A_1,A_2,...,A_n\)是n個是事件，且\(P(A_1A_2...A_{n-1})>0\)，則由歸納法可得：
例題
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關於某產品的檢驗方案為：從100件中任取1件，無放回，如為次品，認為不合格；如為正品，再抽一件；如此連續至多4次，若連續抽取4件正品，則認為這批產品合格。現假定這批產品中5%是次品，求：產品被拒收的概率。
答：設A={產品被拒收}，\(B_i\)={第i次抽得正品}，i={1,2,3,4}
則\(\bar{A}=B_1B_2B_3B_4\)
因此
\[\begin{split} P(A)=1-P(\bar{A})&=1-P(B_1B_2B_3B_4)\\ &=1-P(B_1)P(B_2|B_1)P(B_3|B_1B_2)P(B_4|B_1B_2B_3)\\ &=1-\frac{95}{100}\frac{94}{99}\frac{93}{98}\frac{92}{97}=0.188 \end{split} \] -
據以往資料，某一三口之家，患某種傳染病的概率有以下特點：
P(孩子得病)=0.6, P(母親得病|孩子得病)=0.5, P(父親得病|母親及孩子得病)=0.4
求：母親及孩子得病但父親未得病的概率。
答：設A={孩子得病}，B={母親得病}，C={父親得病}，則：
\[P(A)=0.6,\ P(B|A)=0.5,\ P(C|AB)=0.4 \]\[\begin{split} P(AB\bar{C})&=P(\bar{C}|AB)P(B|A)P(A)\\ &=(1-0.4)×0.5×0.6\\ &=0.6×0.5×0.6\\ &=0.18 \end{split} \]