摘要
本篇意在為高數基礎薄弱的同學講解概率論中需要的微積分等高等數學基礎知識。
將以下的知識和推導證明例題掌握，應對各種變式都不會有什么問題了。實際做題時，盡量將結論記住，看到常見分布如指數、泊松分布的變式，合理提出常數，直接應用結論，可以簡化計算。
方便起見，其中部分題解以手寫版結果展示。
使用教材：《概率論與數理統計》（第四版）浙江大學 盛驟等。
二項式定理
核心公式
- 其中(n,k)=
例：二項分布概率求和
證明二項分布概率和為1.
注：
- 二項分布從頭到尾求和可以用二項式定理得出。那么如果需要求前x項（或值小於某一部分）的和呢？這時我們就應當聯想到第五章的棣莫弗-拉普拉斯定理，將二項分布近似為標准正態分布。
- 那么具體求二項分布某一項的值呢？由第二章提到的泊松定理可知：
其中λ=np
冪級數和函數
冪級數求和常用公式
原理均為泰勒展開，不理解泰勒展開的同學可以直接記公式。
等比級數求和
核心公式
即等比數列求和公式。
實際上，等比級數的求和公式多種多樣，形如這樣：
而實際應用中，∑求和的第一項、最后一項，未知參數的指數變化多端，故使用等比數列求和，根據實際情況找出第一項、最后一項、公比較為方便。
例：幾何分布函數的分布
解答：
等比級數/階乘求和（泊松分布）
核心公式
例：泊松分布概率和
觀察泊松分布的分布律可以發現，\(e^{-λ}\)為常數可以提出來，另一部分式子求和即\(e^λ\)，二者相乘結果為1.
冪級數的可積性與可導性
核心公式
-
可導性：
-
可積性：
例一：泊松分布求期望
這里從k=1開始的原因是k=0，kp=0.
接下來我們就可以看出k=1且從k-1開始，所以我們應將分母λ的指數也變成k-1，即提出λ。
例二：泊松分布求方差
要求D(X)，先求E(X^2)。
核心是湊成兩個不同的冪級數和。
定積分
例一：指數分布求分布函數（簡單一重積分）
例二：指數分布求期望（復合函數分部積分法）
例三：標准正態分布求概率和（極坐標下二重積分間接求）
綜合例題
例：二項式定理+冪級數求和
此處僅給出第一問解答：
