【例7.4】 循環比賽日程表

1325：【例7.4】 循環比賽日程表

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【題目描述】

設有NN個選手進行循環比賽，其中N=2^M，要求每名選手要與其他N−1N−1名選手都賽一次，每名選手每天比賽一次，循環賽共進行N−1N−1天，要求每天沒有選手輪空。

【輸入】

輸入：M。

【輸出】

輸出：表格形式的比賽安排表。一行各數據間用一個空格隔開。

【輸入樣例】

3

【輸出樣例】

1 2 3 4 5 6 7 8
2 1 4 3 6 5 8 7
3 4 1 2 7 8 5 6
4 3 2 1 8 7 6 5
5 6 7 8 1 2 3 4
6 5 8 7 2 1 4 3
7 8 5 6 3 4 1 2
8 7 6 5 4 3 2 1

例題不怎么詳的解：
解題時的我：
這題乍一看挺簡單的，拿着題目想了5分鍾就可以得出大致思路，我一開始想到了其實就想到了找規律，但是雖然找到了規律，卻不敢下手去碼，因為是新的一章。於是我先把這個思路放了放，轉向另一種思路。
想到了純模擬，用各種數組記錄安排啊什么的，發現這種辦法實在太麻煩，而且極其容易超時，根本不是辦法。
最后看了下書上的算法分析，恍然大悟，原來真nm是找規律，於是乎我又回到了剛開始的思路。

從題目所給的例子，眼尖的童鞋一眼就會發現左斜着的一排全是1，右斜着的一排全是8。如果有接觸過鄰接鏈表，你就會驚訝地發現這也是一個具有對稱性的表格啊！？
繼續觀察，果不其然，發現對角對稱性，即左上的部分和右下的部分完全一致，右上和左下的部分完全一致。完全一致啊！！！

深入這道題目本身的設定，原來是因為比賽的場次都會兩兩相對地重復。1和2打的要記錄，2和1打的也要記錄。
那么接下來就好辦事了，這樣一把題目分析，就找到了運用分治算法解題的思路，就是從左上角開始，用一個遞推將整個表計算出來。

算法分析：
首先是設置遞推邊界，即將模擬數組左上角的第一個數為1，然后遞推構造左上角，將左上角乘以2再復制到右上角，最后分別構造左下和右下。
得到遞推式：
以a為模擬數組，設置一個half變量來記錄所需復制的表格塊的大小（此處為關鍵點）；

構造右上角：a[i][j+half]=a[i][j]+half；
構造左下角：a[i+half][j]=a[i][j+half];
構造右下角：a[i+half][j+half]=a[i][j];

由於是復制左上和右上角的數據，所以構造右上角要寫在前面。

顯而易見，總共需要構造的輪數恰好是2的指數級別，也就是說每多構造一次表格的長和寬都會乘以2。
因此，我們的主體循環結構只用循環M次。
為了再每個循環中構造新的部分，我們必須設置一個關鍵變量half來控制每次增加的表格塊，每次循環乘以2，對應表格的大小。
得到如下核心代碼：

　　a[0][0]=1;
    while(k<=m)
    {
        for(int i=0;i<half;i++)
            for(int j=0;j<half;j++)
                a[i][j+half]=a[i][j]+half;//構造右上角
 
        for(int i=0;i<half;i++)
            for(int j=0;j<half;j++)
            {
                a[i+half][j]=a[i][j+half];//構造左下角
                a[i+half][j+half]=a[i][j];//構造右下角
            }
        half*=2;
        k++;
    }

　有一個騷操作我必須要講，因為某個二進制位每向左移一位，相應的十進制數就會增大2倍！這個操作可以極大地優化代碼的時間復雜度，省去了用循環求2的n次方步驟。

樣例代碼：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<string>
#define INF 999999999
#define N 1001
#define MOD 1000000007
using namespace std;
int a[N][N];
int main()
{
    int m;
    int k=1,half=1;
    cin>>m;
 
    int n=1<<m;
    a[0][0]=1;
    while(k<=m)
    {
        for(int i=0;i<half;i++)
            for(int j=0;j<half;j++)
                a[i][j+half]=a[i][j]+half;
 
        for(int i=0;i<half;i++)
            for(int j=0;j<half;j++)
            {
                a[i+half][j]=a[i][j+half];
                a[i+half][j+half]=a[i][j];
            }
        half*=2;
        k++;
    }
    for(int i=0;i<n;i++)
    {
        for(int j=0;j<n;j++)
            printf("%d ",a[i][j]);
        cout<<endl;
    }
    return 0;
}

2019-02-12 13:41:52