理解回溯法及例題分析

1、對回溯算法的理解

回溯法(探索與回溯法)是一種選優搜索法，又稱為試探法，按選優條件向前搜索，以達到目標。但當探索到某一步時，發現原先選擇並不優或達不到目標，就退回一步重新選擇，這種走不通就退回再走的技術為回溯法，而滿足回溯條件的某個狀態的點稱為"回溯點"。

（1）回溯法解題時通常包含3個步驟：

①針對所給問題，定義問題的解空間；

② 確定易於搜索的解空間結構；

③以深度優先方式搜索解空間，並在搜索過程中用剪枝函數避免無效搜索。

（2）回溯法的算法框架

①解空間：問題的解空間至少包含問題的一個（最優）解。其表示形式一般是解空間樹：子集樹和排列樹

②遞歸回溯：

void Backtrack(int t)
{
    if(t>n) Output(x);
    else {
        for(int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) {
            x[t]=h(i);
            if(Constraint(t)&&Bound(t)) Backtrack(t+1);
        }
    }
}

③迭代回溯：

void IterativeBacktrack(void)
{
    int t=1;
    while(t>0) {
        if(f(n,t)<=g(n,t)) {
            for(int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) {
                x[t]=h(i);
                if(Constraint(t)&&Bound(t)) {
                    if(Solution(t)) Output(x);
                    else t++;
                }
            }
        }
        else t--;          
    }
}

2、例題：子集和問題

（1）子集和問題

設集合S={x1,x2,…,xn}是一個正整數集合，c是一個正整數，子集和問題判定是否存在S的一個子集S1，使S1中的元素之和為c。試設計一個解子集和問題的回溯法。

輸入格式：輸入數據第1行有2個正整數n和c，n表示S的大小，c是子集和的目標值。接下來的1行中，有n個正整數，表示集合S中的元素。

輸出格式：輸出子集和問題的解，以空格分隔，最后一個輸出的后面有空格。當問題無解時，輸出“No Solution!”。

輸入樣例：5 10

                  2 2 6 5 4

輸出樣例：2 2 6

（2）解空間

本題的解空間為：{x1,x2,x3,x4,···,xn}，其中xi表示是否加上第i個數

（3）約束函數

本題的約束方式有兩部分，①isC + num[i] <= c，通過判斷當前子集和是否超出題目要求的子集和來剪枝

②isC+total >= c，與第一部分類似

（4）具體代碼

#include <iostream>
using namespace std;
#define N 1000
int n,c,total=0;  // total表示所有整數之和
int isSelect[N]={0};  // 表示整數n是否被選擇，1表示選擇
int num[N];  // 表示整數集
int isC=0;  // 表示當前子集和

bool sum(int i)
{
    if(isC == c) return true;  // 當子集和符合條件時返回
    if(i > n) return false;
    total-=num[i];
    if(isC + num[i] <= c) {
        isSelect[i]=1;
        isC+=num[i];
        if(sum(i+1)) return true;
        isC-=num[i];  // 回溯法
    }
    if(isC+total >= c) {
        isSelect[i]=0;  // 回溯法
        if(sum(i+1)) return true;
    }
    total += num[i];  // 回溯法
    return false;
}

int main()
{
    cin>>n>>c;
    for(int i=1;i<=n;i++) {
        cin>>num[i];
        total+=num[i];
    }
    if(!sum(1)) cout<<"No Solution!";  // 無解時
    else {
        for(int i=1;i<=n;i++) {
            if(isSelect[i]) cout<<num[i]<<" ";
        }
    }
    return 0;
} 

3、在本章學習過程中遇到的問題及結對編程的情況

 對於回溯法的概念，結合解空間樹，理解起來不是很難，但是在代碼實踐時，有時候會出現不是很明白為什么要怎么寫代碼的情況，結對小伙伴也不是很明白，總體上還可以，但是還需要多實踐多理解。

參考資料：https://baike.so.com/doc/6735197-6949574.html