回溯法分析題

2019-04-24

東 華 大 學

《算法設計分析與綜合實踐》分析題作業

 

學生姓名：曹晨 學號：171310402

1. 作業題目

   旅行售貨員問題的費用上限

   設G是一個有n個頂點的有向圖，從頂點i發出的邊的最大費用記為max(i)。

   1. 證明旅行售貨員回路的費用不超過。
   2. 在旅行售貨員問題的回溯法中，用上面的界作為bestc的初始值，重寫該算法，並盡可能的簡化代碼。
2. 解題過程（針對算法設計題）
3. 簡明扼要地寫出解題思路或算法設計思路。可用文字、圖等描述
   1. 證明：旅行售貨員的回路有很多種解，假設有四個節點分別是ABCD，按照可行的一種順序B D A C 的求解費用，其費用為，推廣都所有解的情況，按照節點經過的順序編號為1，2，3，4，其費用為，再推廣到n個節點的情況。由此可以看出
   2. 在回溯法中，旅行售貨員算法中的bestc的初始化為NoEdge，現將其修改bestc=。

    

4. 寫出算法描述（要有每個步驟加數字標號，必要的地方加注釋，注釋用雙斜杠//表示），例如：

   輸入：

   4

   0 30 6 4

   30 0 5 10

   6 5 0 20

   4 10 20 0

   輸出：

   1à3à2à4à1

   25

   

   算法描述如下：

   算法包括定義一個類，類里有三個函數，一個構造函數，一個遞歸函數，一個求bestc的函數如下

   1 template <class ElemType>
   
   2 class Travelling{
   
   3 public:
   
   4 Travelling(int nw,ElemType **ai,ElemType no)//構造函數
   
   5 {
   
   6 n=nw;
   
   7 for(int i=1 to n)
   
   8 for(int j=1 to n)
   
   9 a[i][j]=ai[i][j];
   
   10 NoEdge=no;
   
   11 }
   
   12 ElemType CalSum();//初始化bestc並調用遞歸函數的函數
   
   13 private:
   
   14 void Recursive(int i);//遞歸尋找可行回路的函數
   
   15 int n;//圖的頂點數
   
   16 int *x;//當前解
   
   17 int *bestx;//當前最優解
   
   18 ElemType **a;//圖的鄰接矩陣
   
   19 ElemType s;//當前費用
   
   20 ElemType bestc;//當前最優值
   
   21 ElemType NoEdge;//無邊標記
   
   22 };
   
   23 void Travelling<ElemType>::Recursive(int i)
   
   24 {
   
   25 if(i到達第n層即搜索到葉子結點)
   
   26 {
   
   27 if(城市x[n-1]可以到達城市x[n]，並且城市x[n]可以回到城市1，且此時所走的路程s加上x[n-1]與x[n]的距離和x[n]與1的距離小於當前最優值bestc)
   
   28
   
   29 {
   
   30 for(int j=1 to n)
   
   31 bestx[j]=x[j];//保存當前最優解的順序
   
   32 bestc=s+a[x[n-1]][x[n]]+a[x[n]][x[1]];//記錄當前最優解的值
   
   33 }
   
   34 }
   
   35 else
   
   36 {
   
   37 for(int j=i to n)
   
   38 if(城市x[i-1]能達到城市x[j]即這兩個城市間有邊，並當前所走的路程s加上這兩個城市的距離比當前最優值bestc小)
   
   39 {
   
   40 swap(x[i],x[j]);
   
   41 s+=a[x[i-1]][x[i]];//修改此時所走的路程s,進入下一層遞歸
   
   42 Recursive(i+1);
   
   43 s-=a[x[i-1]][x[i]];//恢復原來cc的值
   
   44 swap(x[i],x[j]);
   
   45 }
   
   46 }
   
   47 }
   
   48 ElemType Travelling<ElemType>::CalSum()
   
   49 {
   
   50 int maxi;
   
   51 bestc=1;//初始化為1
   
   52 for(int i=1 to n)
   
   53 for(int j=1 to n)
   
   54 if(a[i][j]>maxi)//遍歷找到從節點i發出的最大費用的邊
   
   55 maxi=a[i][j];
   
   56 if(maxi!=NoEdge)//如果沒有
   
   57 return NoEdge;//直接返回無邊標記
   
   58 bestc+=maxi;//否則加緊bestc
   
   59 for(int i=1 to n)
   
   60 x[i]=i;
   
   61 bestx[i]=i;//初始化x和bestx的順序
   
   62 s=0;//初始化當前費用
   
   63 Recursive(2);//從第二層開始遞歸求回路
   
   64 return bestc;
   
   65 }

    

    

5. 算法分析：

   時間復雜度：

   在函數CalSum中,兩個嵌套的for循環用來求bestc的初始值，一個for循環來初始化x和bestx，總時間為f(n)=n+n*n=O(n)。在函數Recursive中，在最壞的情況下可能需要更新當前最優解O((n-1)!)，每次更新bestx需要O(n)計算時間，從而整個算法的時間復雜度為O((n)!);

   空間復雜度：

   圖的鄰接矩陣用了一個二維數組，當前解和最優解分別用了兩個一維數組，所以f(n)=n*n+n*2=O(n² ),算法的空間復雜度維O(n² )

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