前言
直線方向向量
直線的方向向量有兩個,其單位向量自然也有兩個;與向量\(\vec{a}\)共線的單位向量為兩個,\(\pm\cfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\);
- 直線的斜截式為\(y=kx+b\),則其一個方向向量可以是\(\overrightarrow{s}=(1,k)\),
解釋:直線\(y=kx+b\)和\(y=kx\)平行,則其方向向量是一致的,故只研究直線\(y=kx\)的方向向量,如圖所示,
在其圖像上取一點\(P(1,k)\),則\(\overrightarrow{OP}=\vec{s}\)即為其一條方向向量;其坐標為\(\vec{s}=(1,k)\);自然也可以是\((-1,-k)\);
- 直線的一般式為\(Ax+By+C=0\),則其一個方向向量可以為\(\overrightarrow{s}=(1,-\cfrac{A}{B})\),或\(\overrightarrow{s}=(B,-A)\),或\(\overrightarrow{s}=(-B,A)\)
平面的法向量

(1).證明:\(BD\perp\)平面\(PAC\);
證明:由於側棱\(PA\perp\)底面\(ABCD\),\(BD\subsetneqq\)底面\(ABCD\),故\(PA\perp BD\);
又由於\(AC\)和\(BD\)是正方形的對角線,則\(AC\perp BD\),
則\(BD\perp AC\),\(BD\perp PA\),\(PA\cap AC=A\),
\(PA\subsetneqq\)平面\(PAC\),\(AC\subsetneqq\)平面\(PAC\),
故\(BD\perp\)平面\(PAC\);
(2).求二面角\(C-BD-Q\)的余弦值。
分析:由題可知,\(AB、AP、AD\)兩兩垂直,以\(A\)為坐標原點,分別以\(AB、AD、AP\)所在直線為\(x,y,z\)軸建立空間直角坐標系,如圖所示。
則點\(B(2,0,0)\),\(C(2,2,0)\),\(D(0,2,0)\),\(Q(0,0,1)\),
所以\(\overrightarrow{BD}=(-2,2,0)\),\(\overrightarrow{BQ}=(-2,0,1)\),
設平面\(BDQ\)的法向量為\(\vec{m}=(x,y,z)\),則有
\(\begin{cases}\vec{m}\perp\overrightarrow{BD}\\\vec{m}\perp\overrightarrow{BQ}\end{cases}\) \(\Longrightarrow \begin{cases}\vec{m}\cdot\overrightarrow{BD}=0\\\vec{m}\cdot\overrightarrow{BQ}=0\end{cases}\)
即\(\begin{cases}-2x+2y=0\\-2x+z=0\end{cases}\),可以取\(\vec{m}=(1,1,2)\)
平面\(BDC\)的法向量為\(\vec{n}=(0,0,1)\),
設二面角\(C-BD-Q\)為\(\theta\),由圖可知,\(\theta\)為鈍角,則有
\(cos\theta=-|cos<\vec{m},\vec{n}>|=-\cfrac{\vec{m}\cdot\vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=-\cfrac{2}{\sqrt{6}}=-\cfrac{\sqrt{6}}{3}\)
所以二面角\(C-BD-Q\)的余弦值為\(-\cfrac{\sqrt{6}}{3}\)。
典例剖析
法1:直線\(l_1:x\cos\theta+2y=0\)的斜率\(k_1=-\cfrac{\cos\theta}{2}\),
直線\(l_2:3x+y\sin\theta+3=0\)的斜率\(k_2=-\cfrac{3}{\sin\theta}\),
由兩條直線相互垂直可知,\(k_1\times k_2=-1\),即\((-\cfrac{\cos\theta}{2})(-\cfrac{3}{\sin\theta})=-1\)
則可以得到,\(\tan\theta=-\cfrac{3}{2}\),
而\(\sin2\theta=\cfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin^2\theta+\cos^2\theta}=\cfrac{2\tan\theta}{\tan^2\theta+1}\),
則可得\(\sin2\theta=\cfrac{2\times (-\frac{3}{2})}{(-\frac{3}{2})^2+1}=-\cfrac{12}{13}\).
法2:直線\(l_1:x\cos\theta+2y=0\)的方向向量為\(\vec{u}=(-\cos\theta,2)\),
直線\(l_2:3x+y\sin\theta+3=0\)的方向向量為\(\vec{v}=(-3,\sin\theta)\),
由兩條直線相互垂直可知,\(\vec{u}\cdot \vec{v}=0\),即\((-\cos\theta)\times (-3)+2\times\sin\theta=0\)
則可以得到,\(2\sin\theta+3\cos\theta=0\),即\(\tan\theta=-\cfrac{3}{2}\),
而\(\sin2\theta=\cfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin^2\theta+\cos^2\theta}=\cfrac{2\tan\theta}{\tan^2\theta+1}\),
則可得\(\sin2\theta=\cfrac{2\times (-\frac{3}{2})}{(-\frac{3}{2})^2+1}=-\cfrac{12}{13}\).
法1:直線\(l_1:x\cos\theta+2y=0\)的斜率為\(k_1=-\cfrac{\cos\theta}{2}\),
直線\(l_2:x\sin\theta+3y+3=0\)的斜率\(k_2=-\cfrac{\sin\theta}{3}\),
由兩條直線相互平行可知,\(k_1=k_2\),即\(-\cfrac{\cos\theta}{2}=-\cfrac{\sin\theta}{3}\)
則可以知道,\(\tan\theta=\cfrac{3}{2}\),
而\(\sin2\theta=\cfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin^2\theta+\cos^2\theta}=\cfrac{2\tan\theta}{\tan^2\theta+1}\),
則可得\(\sin2\theta=\cfrac{2\times \frac{3}{2}}{(\frac{3}{2})^2+1}=\cfrac{12}{13}\).
法2:直線\(l_1:x\cos\theta+2y=0\)的方向向量為\(\vec{u}=(-\cos\theta,2)\),
直線\(l_2:x\sin\theta+3y+3=0\)的方向向量為\(\vec{v}=(-\sin\theta,3)\),
由兩條直線相互平行可知,\(\vec{u}//\vec{v}\),即\(-3\cos\theta-2(-\sin\theta)=0\)
則可以得到,即\(\tan\theta=\cfrac{3}{2}\),
而\(\sin2\theta=\cfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin^2\theta+\cos^2\theta}=\cfrac{2\tan\theta}{\tan^2\theta+1}\),
則可得\(\sin2\theta=\cfrac{2\times \frac{3}{2}}{(\frac{3}{2})^2+1}=\cfrac{12}{13}\).
分析:\(f'(x)=\cfrac{1}{x}-2ax\),由函數\(f(x)\)在點\((2,f(2))\)處的切線的一個方向向量是\((2,-3)\),
即\(f'(2)=\cfrac{1}{2}-4a=-\cfrac{3}{2}\),解得\(a=\cfrac{1}{2}\),
分析:由於\(k_{l_1}=-\cfrac{m+3}{4}\),\(k_{l_2}=-\cfrac{2}{m+6}\),又由於\(k_{l_1}\cdot k_{l_2}=-1\),
解得\(m=-5\),即\(l_1: x-2y+10=0\),即\(k_{l_1}=\cfrac{1}{2}\),
故其一個方向向量可以是\((1,k)\),即\((1,\cfrac{1}{2})\),無此選項;
可以調整為與其共線的反向向量\((-1,-\cfrac{1}{2})\);故選\(D\);
分析:直線\(3x+4y+5=0\)的一個方向向量為\(\vec{s}=(4,-3)\),
故與此方向向量共線的一個單位向量為\(\cfrac{\vec{s}}{|\vec{s}|}=\cfrac{1}{5}(4,-3)=(\cfrac{4}{5},-\cfrac{3}{5})\)
故選\(D\).