方向向量和法向量


前言

直線方向向量

直線的方向向量有兩個,其單位向量自然也有兩個;與向量\(\vec{a}\)共線的單位向量為兩個,\(\pm\cfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)

  • 直線的斜截式為\(y=kx+b\),則其一個方向向量可以是\(\overrightarrow{s}=(1,k)\)

解釋:直線\(y=kx+b\)\(y=kx\)平行,則其方向向量是一致的,故只研究直線\(y=kx\)的方向向量,如圖所示,

在其圖像上取一點\(P(1,k)\),則\(\overrightarrow{OP}=\vec{s}\)即為其一條方向向量;其坐標為\(\vec{s}=(1,k)\);自然也可以是\((-1,-k)\)

  • 直線的一般式為\(Ax+By+C=0\),則其一個方向向量可以為\(\overrightarrow{s}=(1,-\cfrac{A}{B})\),或\(\overrightarrow{s}=(B,-A)\),或\(\overrightarrow{s}=(-B,A)\)

平面的法向量

例1 【2017鳳翔中學第三次月考理科第19題】如圖所示,四棱錐\(P-ABCD\)中,底面\(ABCD\)是個邊長為2的正方形,側棱\(PA\perp\)底面\(ABCD\),且\(PA=2\)\(Q\)\(PA\)的中點。

(1).證明:\(BD\perp\)平面\(PAC\)

證明:由於側棱\(PA\perp\)底面\(ABCD\)\(BD\subsetneqq\)底面\(ABCD\),故\(PA\perp BD\)

又由於\(AC\)\(BD\)是正方形的對角線,則\(AC\perp BD\)

\(BD\perp AC\)\(BD\perp PA\)\(PA\cap AC=A\)

\(PA\subsetneqq\)平面\(PAC\)\(AC\subsetneqq\)平面\(PAC\)

\(BD\perp\)平面\(PAC\)

(2).求二面角\(C-BD-Q\)的余弦值。

分析:由題可知,\(AB、AP、AD\)兩兩垂直,以\(A\)為坐標原點,分別以\(AB、AD、AP\)所在直線為\(x,y,z\)軸建立空間直角坐標系,如圖所示。

則點\(B(2,0,0)\)\(C(2,2,0)\)\(D(0,2,0)\)\(Q(0,0,1)\)

所以\(\overrightarrow{BD}=(-2,2,0)\)\(\overrightarrow{BQ}=(-2,0,1)\)

設平面\(BDQ\)的法向量為\(\vec{m}=(x,y,z)\),則有

\(\begin{cases}\vec{m}\perp\overrightarrow{BD}\\\vec{m}\perp\overrightarrow{BQ}\end{cases}\) \(\Longrightarrow \begin{cases}\vec{m}\cdot\overrightarrow{BD}=0\\\vec{m}\cdot\overrightarrow{BQ}=0\end{cases}\)

\(\begin{cases}-2x+2y=0\\-2x+z=0\end{cases}\),可以取\(\vec{m}=(1,1,2)\)

平面\(BDC\)的法向量為\(\vec{n}=(0,0,1)\)

設二面角\(C-BD-Q\)\(\theta\),由圖可知,\(\theta\)為鈍角,則有

\(cos\theta=-|cos<\vec{m},\vec{n}>|=-\cfrac{\vec{m}\cdot\vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=-\cfrac{2}{\sqrt{6}}=-\cfrac{\sqrt{6}}{3}\)

所以二面角\(C-BD-Q\)的余弦值為\(-\cfrac{\sqrt{6}}{3}\)

典例剖析

例1 若直線\(l_1:x\cos\theta+2y=0\)與直線\(l_2:3x+y\sin\theta+3=0\)垂直,求值\(sin2\theta\)=____________.

法1:直線\(l_1:x\cos\theta+2y=0\)的斜率\(k_1=-\cfrac{\cos\theta}{2}\)

直線\(l_2:3x+y\sin\theta+3=0\)的斜率\(k_2=-\cfrac{3}{\sin\theta}\)

由兩條直線相互垂直可知,\(k_1\times k_2=-1\),即\((-\cfrac{\cos\theta}{2})(-\cfrac{3}{\sin\theta})=-1\)

則可以得到,\(\tan\theta=-\cfrac{3}{2}\)

\(\sin2\theta=\cfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin^2\theta+\cos^2\theta}=\cfrac{2\tan\theta}{\tan^2\theta+1}\)

則可得\(\sin2\theta=\cfrac{2\times (-\frac{3}{2})}{(-\frac{3}{2})^2+1}=-\cfrac{12}{13}\).

法2:直線\(l_1:x\cos\theta+2y=0\)的方向向量為\(\vec{u}=(-\cos\theta,2)\)

直線\(l_2:3x+y\sin\theta+3=0\)的方向向量為\(\vec{v}=(-3,\sin\theta)\)

由兩條直線相互垂直可知,\(\vec{u}\cdot \vec{v}=0\),即\((-\cos\theta)\times (-3)+2\times\sin\theta=0\)

則可以得到,\(2\sin\theta+3\cos\theta=0\),即\(\tan\theta=-\cfrac{3}{2}\)

\(\sin2\theta=\cfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin^2\theta+\cos^2\theta}=\cfrac{2\tan\theta}{\tan^2\theta+1}\)

則可得\(\sin2\theta=\cfrac{2\times (-\frac{3}{2})}{(-\frac{3}{2})^2+1}=-\cfrac{12}{13}\).

例2 [上例變式]若直線\(l_1:x\cos\theta+2y=0\)與直線\(l_2:x\sin\theta+3y+3=0\)平行,求值\(sin2\theta\)=____________.

法1:直線\(l_1:x\cos\theta+2y=0\)的斜率為\(k_1=-\cfrac{\cos\theta}{2}\)

直線\(l_2:x\sin\theta+3y+3=0\)的斜率\(k_2=-\cfrac{\sin\theta}{3}\)

由兩條直線相互平行可知,\(k_1=k_2\),即\(-\cfrac{\cos\theta}{2}=-\cfrac{\sin\theta}{3}\)

則可以知道,\(\tan\theta=\cfrac{3}{2}\)

\(\sin2\theta=\cfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin^2\theta+\cos^2\theta}=\cfrac{2\tan\theta}{\tan^2\theta+1}\)

則可得\(\sin2\theta=\cfrac{2\times \frac{3}{2}}{(\frac{3}{2})^2+1}=\cfrac{12}{13}\).

法2:直線\(l_1:x\cos\theta+2y=0\)的方向向量為\(\vec{u}=(-\cos\theta,2)\)

直線\(l_2:x\sin\theta+3y+3=0\)的方向向量為\(\vec{v}=(-\sin\theta,3)\)

由兩條直線相互平行可知,\(\vec{u}//\vec{v}\),即\(-3\cos\theta-2(-\sin\theta)=0\)

則可以得到,即\(\tan\theta=\cfrac{3}{2}\)

\(\sin2\theta=\cfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin^2\theta+\cos^2\theta}=\cfrac{2\tan\theta}{\tan^2\theta+1}\)

則可得\(\sin2\theta=\cfrac{2\times \frac{3}{2}}{(\frac{3}{2})^2+1}=\cfrac{12}{13}\).

案例 【2016衡水金卷】已知函數\(f(x)=lnx-ax^2\),且函數\(f(x)\)在點\((2,f(2))\)處的切線的一個方向向量是\((2,-3)\).

分析:\(f'(x)=\cfrac{1}{x}-2ax\),由函數\(f(x)\)在點\((2,f(2))\)處的切線的一個方向向量是\((2,-3)\)

\(f'(2)=\cfrac{1}{2}-4a=-\cfrac{3}{2}\),解得\(a=\cfrac{1}{2}\)

例3 【2016年寶雞市質量檢測二理科數學第7題】已知兩條直線\(l_1:(m+3)x+4y+3m-5=0\)\(l_2:2x+(m+6)y-8=0\),且\(l_1\perp l_2\),則直線\(l_1\)的一個方向向量是【】

$A.(1,-\cfrac{1}{2})$ $B.(-1,-1)$ $C.(1,-1)$ $D.(-1,-\cfrac{1}{2})$

分析:由於\(k_{l_1}=-\cfrac{m+3}{4}\)\(k_{l_2}=-\cfrac{2}{m+6}\),又由於\(k_{l_1}\cdot k_{l_2}=-1\)

解得\(m=-5\),即\(l_1: x-2y+10=0\),即\(k_{l_1}=\cfrac{1}{2}\)

故其一個方向向量可以是\((1,k)\),即\((1,\cfrac{1}{2})\),無此選項;

可以調整為與其共線的反向向量\((-1,-\cfrac{1}{2})\);故選\(D\);

例3 與直線\(3x+4y+5=0\)的方向向量共線的一個單位向量是【】

$A.(3,4)$ $B.(4,-3)$ $C.(\cfrac{3}{5},\cfrac{4}{5})$ $D.(\cfrac{4}{5},-\cfrac{3}{5})$

分析:直線\(3x+4y+5=0\)的一個方向向量為\(\vec{s}=(4,-3)\)

故與此方向向量共線的一個單位向量為\(\cfrac{\vec{s}}{|\vec{s}|}=\cfrac{1}{5}(4,-3)=(\cfrac{4}{5},-\cfrac{3}{5})\)

故選\(D\).


免責聲明!

本站轉載的文章為個人學習借鑒使用,本站對版權不負任何法律責任。如果侵犯了您的隱私權益,請聯系本站郵箱yoyou2525@163.com刪除。



 
粵ICP備18138465號   © 2018-2025 CODEPRJ.COM