前言
直线方向向量
直线的方向向量有两个，其单位向量自然也有两个；与向量\(\vec{a}\)共线的单位向量为两个，\(\pm\cfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)；
- 直线的斜截式为\(y=kx+b\)，则其一个方向向量可以是\(\overrightarrow{s}=(1，k)\)，
解释：直线\(y=kx+b\)和\(y=kx\)平行，则其方向向量是一致的，故只研究直线\(y=kx\)的方向向量，如图所示，
在其图像上取一点\(P(1，k)\)，则\(\overrightarrow{OP}=\vec{s}\)即为其一条方向向量；其坐标为\(\vec{s}=(1，k)\)；自然也可以是\((-1,-k)\)；
- 直线的一般式为\(Ax+By+C=0\)，则其一个方向向量可以为\(\overrightarrow{s}=(1，-\cfrac{A}{B})\)，或\(\overrightarrow{s}=(B，-A)\)，或\(\overrightarrow{s}=(-B，A)\)
平面的法向量
(1).证明：\(BD\perp\)平面\(PAC\)；
证明：由于侧棱\(PA\perp\)底面\(ABCD\)，\(BD\subsetneqq\)底面\(ABCD\)，故\(PA\perp BD\)；
又由于\(AC\)和\(BD\)是正方形的对角线，则\(AC\perp BD\)，
则\(BD\perp AC\)，\(BD\perp PA\)，\(PA\cap AC=A\)，
\(PA\subsetneqq\)平面\(PAC\)，\(AC\subsetneqq\)平面\(PAC\)，
故\(BD\perp\)平面\(PAC\)；
(2).求二面角\(C-BD-Q\)的余弦值。
分析：由题可知，\(AB、AP、AD\)两两垂直，以\(A\)为坐标原点，分别以\(AB、AD、AP\)所在直线为\(x，y，z\)轴建立空间直角坐标系，如图所示。
则点\(B(2，0，0)\)，\(C(2，2，0)\)，\(D(0，2，0)\)，\(Q(0，0，1)\)，
所以\(\overrightarrow{BD}=(-2，2，0)\)，\(\overrightarrow{BQ}=(-2，0，1)\)，
设平面\(BDQ\)的法向量为\(\vec{m}=(x，y，z)\)，则有
\(\begin{cases}\vec{m}\perp\overrightarrow{BD}\\\vec{m}\perp\overrightarrow{BQ}\end{cases}\) \(\Longrightarrow \begin{cases}\vec{m}\cdot\overrightarrow{BD}=0\\\vec{m}\cdot\overrightarrow{BQ}=0\end{cases}\)
即\(\begin{cases}-2x+2y=0\\-2x+z=0\end{cases}\)，可以取\(\vec{m}=(1，1，2)\)
平面\(BDC\)的法向量为\(\vec{n}=(0，0，1)\)，
设二面角\(C-BD-Q\)为\(\theta\)，由图可知，\(\theta\)为钝角，则有
\(cos\theta=-|cos<\vec{m}，\vec{n}>|=-\cfrac{\vec{m}\cdot\vec{n}}{|\vec{m}||\vec{n}|}=-\cfrac{2}{\sqrt{6}}=-\cfrac{\sqrt{6}}{3}\)
所以二面角\(C-BD-Q\)的余弦值为\(-\cfrac{\sqrt{6}}{3}\)。
典例剖析
法1：直线\(l_1:x\cos\theta+2y=0\)的斜率\(k_1=-\cfrac{\cos\theta}{2}\)，
直线\(l_2:3x+y\sin\theta+3=0\)的斜率\(k_2=-\cfrac{3}{\sin\theta}\)，
由两条直线相互垂直可知，\(k_1\times k_2=-1\)，即\((-\cfrac{\cos\theta}{2})(-\cfrac{3}{\sin\theta})=-1\)
则可以得到，\(\tan\theta=-\cfrac{3}{2}\)，
而\(\sin2\theta=\cfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin^2\theta+\cos^2\theta}=\cfrac{2\tan\theta}{\tan^2\theta+1}\)，
则可得\(\sin2\theta=\cfrac{2\times (-\frac{3}{2})}{(-\frac{3}{2})^2+1}=-\cfrac{12}{13}\).
法2：直线\(l_1:x\cos\theta+2y=0\)的方向向量为\(\vec{u}=(-\cos\theta，2)\)，
直线\(l_2:3x+y\sin\theta+3=0\)的方向向量为\(\vec{v}=(-3，\sin\theta)\)，
由两条直线相互垂直可知，\(\vec{u}\cdot \vec{v}=0\)，即\((-\cos\theta)\times (-3)+2\times\sin\theta=0\)
则可以得到，\(2\sin\theta+3\cos\theta=0\)，即\(\tan\theta=-\cfrac{3}{2}\)，
而\(\sin2\theta=\cfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin^2\theta+\cos^2\theta}=\cfrac{2\tan\theta}{\tan^2\theta+1}\)，
则可得\(\sin2\theta=\cfrac{2\times (-\frac{3}{2})}{(-\frac{3}{2})^2+1}=-\cfrac{12}{13}\).
法1：直线\(l_1:x\cos\theta+2y=0\)的斜率为\(k_1=-\cfrac{\cos\theta}{2}\)，
直线\(l_2:x\sin\theta+3y+3=0\)的斜率\(k_2=-\cfrac{\sin\theta}{3}\)，
由两条直线相互平行可知，\(k_1=k_2\)，即\(-\cfrac{\cos\theta}{2}=-\cfrac{\sin\theta}{3}\)
则可以知道，\(\tan\theta=\cfrac{3}{2}\)，
而\(\sin2\theta=\cfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin^2\theta+\cos^2\theta}=\cfrac{2\tan\theta}{\tan^2\theta+1}\)，
则可得\(\sin2\theta=\cfrac{2\times \frac{3}{2}}{(\frac{3}{2})^2+1}=\cfrac{12}{13}\).
法2：直线\(l_1:x\cos\theta+2y=0\)的方向向量为\(\vec{u}=(-\cos\theta，2)\)，
直线\(l_2:x\sin\theta+3y+3=0\)的方向向量为\(\vec{v}=(-\sin\theta，3)\)，
由两条直线相互平行可知，\(\vec{u}//\vec{v}\)，即\(-3\cos\theta-2(-\sin\theta)=0\)
则可以得到，即\(\tan\theta=\cfrac{3}{2}\)，
而\(\sin2\theta=\cfrac{2\sin\theta\cos\theta}{\sin^2\theta+\cos^2\theta}=\cfrac{2\tan\theta}{\tan^2\theta+1}\)，
则可得\(\sin2\theta=\cfrac{2\times \frac{3}{2}}{(\frac{3}{2})^2+1}=\cfrac{12}{13}\).
分析：\(f'(x)=\cfrac{1}{x}-2ax\)，由函数\(f(x)\)在点\((2，f(2))\)处的切线的一个方向向量是\((2，-3)\)，
即\(f'(2)=\cfrac{1}{2}-4a=-\cfrac{3}{2}\)，解得\(a=\cfrac{1}{2}\)，
分析：由于\(k_{l_1}=-\cfrac{m+3}{4}\)，\(k_{l_2}=-\cfrac{2}{m+6}\)，又由于\(k_{l_1}\cdot k_{l_2}=-1\)，
解得\(m=-5\)，即\(l_1： x-2y+10=0\)，即\(k_{l_1}=\cfrac{1}{2}\)，
故其一个方向向量可以是\((1，k)\)，即\((1，\cfrac{1}{2})\)，无此选项；
可以调整为与其共线的反向向量\((-1，-\cfrac{1}{2})\)；故选\(D\);
分析：直线\(3x+4y+5=0\)的一个方向向量为\(\vec{s}=(4,-3)\)，
故与此方向向量共线的一个单位向量为\(\cfrac{\vec{s}}{|\vec{s}|}=\cfrac{1}{5}(4,-3)=(\cfrac{4}{5}，-\cfrac{3}{5})\)
故选\(D\).