關聯矩陣與鄰接矩陣 2018-11-27

參考: 關聯矩陣與鄰接矩陣

1. 鄰接矩陣

1.1 定義

設無向圖 G=(V, E)，其中頂點集 \(V = {v_1, v_2,\cdots, v_n}\), 邊集 \(E={e_1, e_2, \cdots, e_m}\)，
用 \(a_{ij}\)表示頂點\(v_i\)與頂點\(v_j\)之間的邊的數目，可能取值為0, 1, 2, ....,
稱所得矩陣\(A=A(G)=(a_{ij}))_{n \times n}\)為圖 G 的鄰接矩陣

1.2 鄰接矩陣的性質

• A(G) 是對稱矩陣
• 若 G 是無環圖，則A(G)中第 i 行(列)的元素之和等於頂點\(v_i\)的度

類似地，有向圖D的鄰接矩陣\(A(D)=(a_{ij})_{n \times n}\)，\(a_{ij}\)表示從始點\(v_i\)到終點\(v_j\)的有向邊的條數，其中\(v_i\)和\(v_j\)為D的頂點

e.g. 求下圖的鄰接矩陣

其鄰接矩陣如下所示：
\(\left[ \begin{matrix} 0&1&1&1\\ 1&0&1&0 \\ 1 &1 & 0 &1\\ 1&0&1&0 \end{matrix} \right]\)

2. 關聯矩陣

2.1 定義：

設無向圖 G=(V, E)，其中頂點集 \(V = {v_1, v_2,\cdots, v_n}\), 邊集 \(E={e_1, e_2, \cdots, e_m}\)，
用\(m_{ij}\)表示頂點\(v_i\)與邊\(e_j\)關聯的次數，可能取值為0, 1, 2, ....,
稱所得的矩陣$M(G)=(m_{ij})_{n \times m} $為圖G的關聯矩陣

類似的，有向圖D的關聯矩陣的元素定義為：

\[m_{ij}=\left\{\begin{array}{cc} 1, & v_i 是有向邊e_j的始點\\ -1, & v_i 是有向邊e_j的終點\\ 0, & v_i 是有向邊e_j的不關聯點\\ \end{array}\right.\]

e.g. 求下圖的鄰接矩陣和關聯矩陣

鄰接矩陣：\(\left[ \begin{matrix} 0&1&1&0\\ 0&0&0&0 \\ 0 &1 & 0 &1\\ 1&0&0&0 \end{matrix} \right]\) 關聯矩陣：\(\left[ \begin{matrix} 1&0&0&-1&1\\ -1&-1&0&0&0 \\ 0 &1 & 1 &0 &-1\\ 0&0&-1&1&0 \end{matrix} \right]\)