接博客：相機的標定
5. 攝像機的坐標系轉換
以針孔模型為例,如果不考慮透鏡的畸變,空間任意一點P在圖像上的成像位置可以用針孔模型近似表示,即任意點P在圖像上的成像位置可以用p為光心O與P點的連線OP與圖像平面的交點，這種關系也被稱為中心投影或透視投影,它們的幾何比例關系是
${\rm{x}} = \frac{{f{X_c}}}{{{Z_c}}}$
${\rm{y}} = \frac{{f{Y_c}}}{{{Z_c}}}$
式中，[x,y]為P點的圖像坐標系；[Xc,Yc,Zc]T為空間點P在攝像機坐標系下的坐標。用齊次坐標系與矩陣表示上述投影為
${Z_c}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
x\\
y\\
1
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
f&0&0&0\\
0&f&0&0\\
0&0&1&0
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{X_c}}\\
{{Y_c}}\\
{{Z_c}}\\
1
\end{array}} \right]$
（式5.1）
聯立式2.1,4.1,5.1，可以得出由世界坐標系下表示的P點坐標與投影點p在圖像坐標系下的坐標映射關系
${Z_c}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
u\\
v\\
1
\end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{\frac{1}{{{\mu _x}}}}&{ - \frac{{cot\theta }}{{{\mu _x}}}}&{{u_0}}\\
0&{\frac{1}{{{\mu _y}sin\theta }}}&{{v_0}}\\
0&0&1
\end{array}} \right]\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
f&0&0&0\\
0&f&0&0\\
0&0&1&0
\end{array}} \right]\left( {\begin{array}{*{20}{c}}
R&T\\
{{0^T}}&1
\end{array}} \right)\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{X_w}}\\
{{Y_w}}\\
{{Z_w}}\\
1
\end{array}} \right]$
（式5.2）
R,T被稱為相機的外部參數，用於確定世界坐標系到相機坐標系的轉換，其余參數只與相機本身有關系，被稱為相機的內部參數。確定相機內外部參數叫做相機的標定。
由式5.2知，如果已知攝像機的內外參數，並且對於空間中一點P已知世界坐標（Xw,Yw,Zw,1）,這樣就可以求出該點在圖像中的坐標系位置（u，v），而反過來在已知空間中某點P在圖像中的坐標位置(u,v)，即使知道內外參數也無法確定世界坐標系位置（因為存在3x4矩陣不可逆）。
二、攝像機畸變模型
相機的畸變誤差主要分為：徑向畸變，偏心畸變，薄棱鏡畸變。
徑向畸變使得圖像點相對於理想位置發生向內或向外的偏移，這種畸變主要是由透鏡曲面上的瑕疵造成的。偏心畸變主要是由於光學系統中心和幾何中心不一致造成的，即鏡頭的光學中心不能嚴格共線。薄棱鏡畸變是由於鏡頭設計缺陷和安裝誤差造成成像面不平整而引起的，例如透鏡的光軸和攝像機的面陣之間存在傾角誤差，這類誤差相當於在光學系統中加了一個薄棱鏡。
【 結束 】