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曼哈頓距離
對於兩個點\((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)，定義他們的曼哈頓距離為\(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|\)，即兩坐標軸分別討論差值再求和。
對於曼哈頓距離相同的點，他們分布在同一橫縱截距且截距相同的直線上。
圖中每一個正方形邊界上的整點到原點的曼哈頓距離相同。
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切比雪夫距離
對於兩個點\((x_1,y_1),(x_2,y_2)\)，定義他們的曼哈頓距離為\(max\{|x_1-x_2|,|y_1-y_2|\}\)，即兩坐標軸分別討論差值取最大。
對於切比雪夫距離相同的點，他們分布在以原點為中心的正方形邊界上。
圖中每一個正方形邊界上的整點到原點的曼哈頓距離相同。
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曼哈頓距離轉切比雪夫距離
考慮曼哈頓距離的表達式：\(|x_1-x_2|+|y_1-y_2|\)，其實可以表示成：
\(\begin{align}max\{x_1-x_2+y_1-y_2,x_1-x_2+y_2-y_1,x_2-x_1+y_1-y_2,x_2-x_1+y_2-y_1\}\end{align}\)
考慮將兩個點變化為\((x_1+y_1,x_1-y_1),(x_2+y_2,x_2-y_2)\)
那么變化后兩點的切比雪夫距離為\(max((|(x_1+y_1)-(x_2+y_2)|,|(x_1-y_1)-(x_2-y_2)|)\)
若原來兩點曼哈頓距離為\(x_1-x_2+y_1-y_2\)或\(x_2-x_1+y_2-y_1\)時，都可以表示為\(|(x_1+y_2)-(x_2+y_2)|\)
若原來兩點曼哈頓距離為\(x_1-x_2+y_2-y_1\)或\(x_2-x_1+y_1-y_2\)時，都可以表示為\(|(x_1-y_1)-(x_2-y_2)|\)
將每一個點\((x,y)\)轉化為\((x+y,x-y)\)，新坐標系下的切比雪夫距離即為原坐標系下曼哈頓距離。
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切比雪夫距離轉曼哈頓距離
按照剛才的思路再還原回去即可。
將每一個點\((x,y)\)轉化為\((\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2})\)，新坐標系下的曼哈頓距離即為原坐標系下切比雪夫距離。
這個轉化一般比較常用，曼哈頓距離一般可以通過排序前綴和的方式降低計算復雜度。
注意到除法如果向下取整可能會使答案不正確，所以考慮先不除以\(2\)，最后求完答案再除以\(2\)也是一樣的，形象的理解可以說成，曼哈頓坐標系是通過切比雪夫坐標系旋轉\(45^{\circ}\)后，再縮小到原來的一半得到的。
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一道例題
有\(N\)個二位平面上的點，定義每一個點到其八連通的點的距離為\(1\)。
選一個點，使得剩下所有點到該點的距離之和最小，求出這個距離之和。
- \(N\in [0,10^5]\)
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題意即為求切比雪夫距離之和最小，暴力的做法是\(N^2\)的。
考慮將切比雪夫距離轉化為曼哈頓距離，我們將橫縱坐標分開排序求前綴和，這樣既可快速求出，以一個點為中心，其他點到這個點的曼哈頓距離之和。
具體的做法是將兩個坐標分開討論，每次找到當前點在排序后數組的位置\(p\)。
那么它前面的點坐標都小於當前點，累加的答案為\(p\times x[i]-sum_p\)。
后面的點的坐標都大於當前點，反過來累加答案，為\((sum_n-sum_p)-(n-p)\times x[i]\)
對所有的點都求一遍，取最小值即可，復雜度\(\text O(NlogN)\)。
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#include<cmath>
#include<cstdio>
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#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 100010
#define R register
#define gc getchar
#define inf 900000000000000000
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll rd(){
ll x=0; bool f=0; char c=gc();
while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
return f?-x:x;
}
ll n,ans=inf,x[N],y[N],sx[N],sy[N],sumx[N],sumy[N];
int main(){
n=rd();
for(R ll i=1,xx,yy;i<=n;++i){
xx=rd(); yy=rd();
sx[i]=x[i]=xx+yy; sy[i]=y[i]=xx-yy;
}
sort(sx+1,sx+1+n);
sort(sy+1,sy+1+n);
for(R ll i=1;i<=n;++i){
sumx[i]=sumx[i-1]+sx[i];
sumy[i]=sumy[i-1]+sy[i];
}
for(R ll i=1,res;i<=n;++i){
ll px=lower_bound(sx+1,sx+1+n,x[i])-sx;
ll py=lower_bound(sy+1,sy+1+n,y[i])-sy;
res=px*x[i]-sumx[px]+sumx[n]-sumx[px]-(n-px)*x[i];
res+=py*y[i]-sumy[py]+sumy[n]-sumy[py]-(n-py)*y[i];
ans=min(ans,res>>1);
}
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}