本文只討論二維空間中的曼哈頓距離與切比雪夫距離
曼哈頓距離
定義
設平面空間內存在兩點，它們的坐標為$(x1,y1)$，$(x2,y2)$
則$dis=|x1-x2|+|y1-y2|$
即兩點橫縱坐標差之和
煮個栗子
如圖所示，圖中$A,B$兩點的曼哈頓距離為$AC+BC=4+3=7$
切比雪夫距離
定義
設平面空間內存在兩點，它們的坐標為$(x1,y1)$，$(x2,y2)$
則$dis=max(|x1-x2|,|y1-y2|)$
即兩點橫縱坐標差的最大值
再煮個栗子
$dis=max(AC,BC)=AC=4$
兩者之間的關系
兩者的定義看上去好像毛線關系都沒有，但實際上，這兩種距離可以相互轉化！
我們考慮最簡單的情況，在一個二維坐標系中，設原點為$(0,0)$
如果用曼哈頓距離表示，則與原點距離為$1$的點會構成一個邊長為$\sqrt{2}$的正方形
如果用切比雪夫距離表示，則與原點距離為$1$的點會構成一個邊長為$2$的正方形
仔細對比這兩個圖形，我們會發現這兩個圖形長得差不多，他們應該可以通過某種變換互相轉化。
事實上,
將一個點$(x,y)$的坐標變為$(x+y,x-y)$后,原坐標系中的曼哈頓距離 $=$ 新坐標系中的切比雪夫距離
將一個點$(x,y)$的坐標變為$(\frac{x+y}{2},\frac{x-y}{2})$ 后,原坐標系中的切比雪夫距離 $=$ 新坐標系中的曼哈頓距離
用處
切比雪夫距離在計算的時候需要取$max$，往往不是很好優化，對於一個點，計算其他點到該的距離的復雜度為$O(n)$
而曼哈頓距離只有求和以及取絕對值兩種運算，我們把坐標排序后可以去掉絕對值的影響，進而用前綴和優化，可以把復雜度降為$O(1)$