判斷單鏈表中是否有環找到環的入口節點

 

判斷單鏈表中是否有環，找到環的入口節點

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5. 歡迎評論。

文章梗概

本文通過對現有資料的收集和整理，給出了一種相對簡單的嚴格證明的“判斷單鏈表是否有環，找到環的入口節點”的方法。

題目描述

一個鏈表中包含環，請找出該鏈表的環的入口結點（牛客網題目鏈接），題目中沒有說是單鏈表，從給出的代碼中可以看出是單鏈表而且不可修改鏈表元素的定義。

思考過程

從兩個大的角度思考這個問題

1.記錄遇到的每一個鏈表元素

在一次遍歷過程中的，使用一種數據結構（數組、Hash表、基數樹）記錄遇到的每一個鏈表元素並判斷是否已經遇到過，其中使用基數樹可以獲得O(n)

的時間復雜度，但是可會有比較高的空間復雜度。

2.利用鏈表的性質

• 在題目的討論頁看到了比較有想法的一個答案冬至_的答案，正如其所言時間復雜度為O（n），兩個指針，一個在前面，另一個緊鄰着這個指針，在后面。兩個指針同時向前移動，每移動一次，前面的指針的next指向NULL。也就是說：訪問過的節點都斷開，最后到達的那個節點一定是尾節點的下一個，也就是循環的第一個。這時候已經是第二次訪問循環的第一節點了，第一次訪問的時候我們已經讓它指向了NULL，所以到這結束。這樣做的話過題目是可以了，但是會破壞掉原來的鏈表，所以並不是一個特別完美的解決辦法。如果可以在鏈表元素中加入一個記錄“邏輯斷開”的元素，也就是說在遍歷的過程中，不真正的斷開元素之間的連接，而是使用一個記錄值，記錄下“邏輯上的斷開”。
• 另一個答案頁上比較正統的回答為0909的回答，其主要思想和蒙恩的罪人的新浪博客大同小異，優雅簡潔，后面主要針對蒙恩的罪人的新浪博客進行討論。

相關問題的解法與證明

給定一個鏈表，只給出頭指針h

1.如何判斷是否存在環？

使用追趕的方法，設定兩個指針slow、fast

，均從頭指針開始，每次分別前進1步、2步。如存在環，則兩者相遇；如不存在環，fast遇到NULL

退出。其中主要的思想就是“環形相遇追及問題”，理解上應該不復雜。

2.如何知道環的長度？

記錄下問題1的相遇點，slow、fast

從該點開始，再次相遇時slow所經過的節點數就是環的長度。從環上的任意一點開始，slow、fast再次相遇時slow經過的節點數就是環的長度，因為此時slow、fast起始距離為環長，速度差為1

。選擇問題1的相遇點為起始點是為了確保起始點為環上的一點。

3.如何找出環的連接點在哪里？

設問題1中的相遇點為m1

，賦值p=m1,q=h，其中h為鏈表頭結點，然后p,q每次1步向前運動，p,q

再次相遇所在的位置就是環的入口節點(環的連接點)。這里和上面提到的博客中的敘述差別非常大，這也是其有些問題的地方，我在這里更正了其說法，並給出了相對嚴格的證明。

相對簡潔的實現

public class Solution { ListNode EntryNodeOfLoop(ListNode h){ if(h == null || h.next == null) return null; ListNode slow = h; ListNode fast = h; while(fast != null && fast.next != null ){ slow = slow.next; fast = fast.next.next; if(slow == fast){ ListNode p=h; ListNode q=slow;//相當於讓q指向了m1 while(p != q){ p = p.next; q = q.next; } if(p == q) return q; } } return null; }

 

代碼及問題三的證明

我們把該鏈表抽象為這樣一個模型，假設環長為n

。

情景1

此圖表示其實狀態，其中h

表示鏈表頭節點,slow,fast，起始狀態指向h，t

表示環的入口節點。

情景2

此圖表示slow

運動到了t，fast運動到m1，節點h和節點t之間的距離為a，節點t和節點m1之間的距離(弧長)為b,並設此時fast在環上做了r次圓周運動(因為a和n的長度都不固定，多以fast可能已經在環上運動了好多圈了)。相對於slow其運動的距離為：a由於fast速度是slow的二倍，所以其運動的距離(步數)為:2a
並且，經過觀察可知fast運動的距離為：a+nr+b

,所以可知公式①：

 

a=nr+b

 

情景3.

此時，slow,fast

相遇在節點m2，也就是代碼中10行判斷成立的地方。其中m2為相遇點，b還是為弧長。由於鏈表的指針是有方向的，我們約定在環上計算距離的時候按照逆時針計算，也就是說，從t到m1的距離為b，從m1到t的距離為n−b（其中n為環的長度)。
同理在情況2中，從fast到slow的距離為n−b，它們的速度差為1，所以它們再次相遇的時候經過的時間為n−b1=n−b,slow經過的距離為(n−b)×1=n−b，所以假設相遇點為m2，那么顯而m2到t的距離為b

。

情景4.

情況4對應着代碼中的11

~19行。因為通過上面的討論，如果能讓q向前運動：b+xn步，那么q的位置恰好是t，其中x∈{0,1,2,3,⋅⋅⋅}。
值得高興的是，在情況2中我們有公式①，觀察到a恰好符合這樣一個步數值，所以我們讓p=h，p,q，都每次向前移動1，當他們相遇的時候恰好就是環的入點t，也就是說p從h移動到p，q再次相遇在這里的作用是提供一個計數。
所以，當p，q再次相遇的時候，他們的相遇點恰好了t

，也就是需要找的環的入口點。

復雜度

我們關注第一次循環的slow

和第二次循環的p，因為它們都是每次前進一步，由它們移動的步數，可以得到算法的時間復雜度，所以易知時間復雜度為O(n)，空間復雜度為O(1)。