前：開始學數學。。來寫寫理解和補充吧。。
書：M.A.Armstrong著《Basic Topology》
Heine-Borel定理：實軸上閉區間是緊集。
證法(1)延伸法：
思想 閉區間S=[a,b]內上升點列在S內有極限點；我們考慮被有限個開集覆蓋的點的上確界q.由於q in S,存在開集t覆蓋q的一個鄰域,若q < b則存在點p > q in t也可以被有限個點覆蓋,則q=b,同時說明S是緊的.
(2)細分法:
反證，我們二分區間。假設S=[a,b]非緊，取它的一個開覆蓋P，那么[a,(a+b)/2]與[(a+b)/2,b]中必有無法有限P覆蓋的，遞歸下去做我們可以得到一系列非緊集序列S1>S2>S3>S4>...，每個的區間長度是原先的一半。這個非緊集序列收斂於一點q,存在e in P使q in e,這樣存在U(q,eps) subst e,而我們知道這個區間長度可以無限小，顯然若是小於eps則這個區間被這個開集覆蓋，和假設矛盾，則S是緊集。