將學習到什么
介紹范數的單位球以及對偶定理.
范數的單位球
范數的基本幾何特征是它的單位球，透過它可以深入洞察范數的性質.
定義 1 ： 設 \(\lVert \cdot \rVert\) 是實或者復向量空間 \(V\) 上的一個范數，\(x\) 是 \(V\) 的一個點，又設給定 \(r>0\). 以 \(x\) 為中心、\(r\) 為半徑的球定義為集合
\begin{align}
B_{\lVert \cdot \rVert}(r;x)=\{y \in V： \lVert y-x \rVert \leqslant r \}
\end{align}
\(\lVert \cdot \rVert\) 的單位球是集合
\begin{align}
B_{\lVert \cdot \rVert} =B_{\lVert \cdot \rVert}(1;0) = \{y \in V： \lVert y \rVert \leqslant 1 \}
\end{align}
以任意點 \(x\) 為中心具有給定半徑的球與以原點為中心有同樣半徑的球看起來相同，它正好是平移到點 \(x\). 我們的目的是要精確地確定 \(\mathbb{C}^n\) 的哪些子集能是某個范數的單位球.
定義 2 ： 如果范數的單位球是一個多面體，則稱該范數是多面體的.
\(l_1，l_{\infty}\) 范數是多面體的
對偶定理
任何范數都是其對偶范數之對偶.
定理 3 ： 設 \(f\) 是 \(V=\mathbb{R^n}\) 或者 \(\mathbb{C}^n\) 上一個准范數，用 \(f^D\) 表示 \(f\) 的對偶范數，用 \(f^{DD}\) 表示 \(f^D\) 的對偶范數，設 \(B=\{x \in V：f(x) \leqslant 1 \}\)，又設 \(B''=\{x \in V ：f^{DD}(x) \leqslant 1\}\). 那么
(a) 對所有 \(x \in V\) 有 \(f^{DD}(x) \leqslant f(x)\)，所以 \(B \subset B''\)
(b) \(B'' = \overline{\mathrm{Co}(S)}\)，\(B\) 的凸包的閉包
(c) 如果 \(f\) 是范數，那么 \(B=B''\)，且 \(f^{DD}=f\)
(d) 如果 \(f\) 是范數且給定 \(x_0 \in V\)，那么就存在某個 \(z \in V\)（不一定是唯一的），使得 \(f^D(z)=1\) 以及 \(f(x_0)=z^*x_0\)，也即對所有 \(x \in V\) 有 \(\lvert z^*x \rvert \leqslant f(x)\)，以及有 \(f(x_0)=z^*x_0\).
證明：(a) 如果 \(x \in V\) 是一個給定的向量，那么對偶范數的一種等價的表達方式確保對任何 \(y \in V\) 都有 \(\lvert y^*x \rvert \leqslant f(x)f^D(y)\)，從而
\begin{align}
f^{DD}(x)=\max\limits_{f^D(y)=1}\lvert y^*x\rvert \leqslant \max\limits_{f^D(y)=1}f(x)f^D(y) = f(x)
\end{align}
於是，對所有 \(x \in V\) 都有 \(f^{DD}(x) \leqslant f(x)\)，這是一個與幾何命題 \(B \subset B''\) 等價的不等式.
(b) 集合 \(\\{t \in V：\mathrm{Re}\,\,t^*v \leqslant 1 \\}\) 是一個包含原點的閉的半空間，且任何這樣的半空間都可以用這樣的方式表示. 利用對偶范數的定義，設 \(u \in B''\) 是一個給定的點，並注意到
\begin{align}
u & \in \{ t： \mathrm{Re}\,\,t^*v \leqslant 1，\text{對每個滿足}\,\, f^D(v) \leqslant 1 \,\,\text{的}\,\, v \} \notag \\
& = \{ t： \mathrm{Re}\,\,t^*v \leqslant 1，\text{對每個滿足}\,\, v^*w \leqslant 1 \,\,\text{的}\,\, v （\text{對每個滿足}\,\, f(w) \leqslant 1 \,\,\text{的}\,\,w）\} \notag \\
& = \{ t： \mathrm{Re}\,\,t^*v \leqslant 1，\text{對每個滿足}\,\, w^*v \leqslant 1 \,\,\text{的}\,\, v （\text{對所有}\,\, w\in B）\} \notag
\end{align}
這樣一來，\(u\) 就在每一個包含 \(B\) 的閉的半空間之內. 由於這樣閉的半空間的交是 $ \overline{\mathrm{Co}(S)}$，我們斷定有 \(u\in \overline{\mathrm{Co}(S)}\). 但是點 \(u \in B''\) 是任意的，故有 \(B'' \in \overline{\mathrm{Co}(S)}\). 由於 \(\mathrm{Co}(B)\) 是包含 \(B\) 的所有凸集的交，而 \(B''\) 是包含 \(B\) 的凸集，故而我們有 \(\mathrm{Co}(B) \subset B''\). 集合 \(B''\) 是一個范數的單位球，所以它是緊的，從而是閉的. 我們斷言有 \(\overline{\mathrm{Co}(S)} \subset \overline{B''}=B''\)，從而 \(B'' = \overline{\mathrm{Co}(S)}\).
(c) 如果 \(f\) 是一個范數，那么它的單位球就是凸的且是閉的，所以 \(B=\overline{\mathrm{Co}(S)} =B''\). 由於它們的單位球相同，故而范數 \(f\) 與 \(f^{DD}\) 相同.
(d) 對每個給定的 \(x_0 \in V\)，(c) 確保有 \(f(x_0)=\max_{f^D(y)=1} \mathrm{Re}\,\,y^*x_0\)，而范數 \(f^D\) 的單位球面的緊性確保存在某個 \(z\)，使得 \(f^D{z}=1\) 以及 \(\max_{f^D(y)=1} \mathrm{Re}\,\,y^*x_0 = \mathrm{Re}\,\,z^*x_0\). 如果 \(z^*x_0\) 不是實數且不是非負的，就會存在一個實數 \(\theta\)，使得 \(\mathrm{Re}(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\theta}z^*x_0) >0> \mathrm{Re}\,\,z^*x_0\)（當然就有 \(f^D(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}z)=f^D(z)=1\)），這與最大性矛盾：對 \(f^D\) 的單位球面中的所有 \(y\) 都有 \(\mathrm{Re}\,\,z^*x_0 \geqslant \mathrm{Re}\,\,y^*x_0\).
上一定理的結論 (c) 可能是對偶定理的最要且應用最廣泛的部分. 例如，它允許我們將任何范數 \(f\) 表示為
\begin{align}
f(x) = \max\limits_{f^D(y)=1}\mathrm{Re}\,\,y^*x
\end{align}
這個表示就是擬線性化的一個例子.
推論 4： \(\mathbb{R^n}\) 或者 \(\mathbb{C}^n\) 上的范數是單調的.
證明：假設 \(\lVert \cdot \rVert\) 是 \(\mathbf{F}\) 上一個絕對范數. 定理 3(b) 確保它的對偶 \(\lVert \cdot \rVert^D\) 是絕對的. 對偶定理告訴我們：\(\lVert \cdot \rVert\) 是絕對范數 \(\lVert \cdot \rVert^D\) 的對偶，故而推出 \(\lVert \cdot \rVert\) 是單調的.
應該知道什么
- 任何范數都是其對偶范數之對偶