二值圖像 b(x,y) = 1 表示前景部分，b(x,y) = 0 表示背景部分。其基本幾何特性包括：‘
1 面積
對整個圖像區域進行積分，使用零階矩表示為 
。
2 位置
將圖像區域看作一種均勻物質構成得平面，物體得質心即為區域中心；使用一階矩表示如下：
，
，進一步改寫得：
，
。
3 朝向
假設物體沿某一方向比較長，其正交方向比較短，該方向定義為物體朝向。使用最小轉動慣量來定義物體長軸，即尋找一條直線，使得物體上所有點到直線上距離平方和最小，定義如下：
， r 表示物體上點到直線的最小距離。
通過最小化 E，可以計算出物體朝向直線，具體如下：
1）假設二值圖像朝向直線已知，使用 
定義為 
，如下圖：
如上圖所示，由於 
，可以建立等式
，化簡得
。
2）對直線 L 上任意點 
，以點 
作為參考點，建立參數方程如下：
，s 表示點 
距離參考點 的距離。
3）由於 
，(x,y) 表示圖像上的點，
表示直線上的點，將參數方程帶入該等式，使得兩個變量 
簡化為一個變量 s，如下：
，
，
對 s 求導，當導數為零時表示(x,y)到直線 L 上距離最近 
，
計算得 
，將 s 帶入 
得
，
，最終推導出轉動慣量方程為
，其中，
為待求解直線參數。
4）令 
，
，
將無關變量提出積分符號前
，
同時除以 
得 
，
由於 
為圖像中心，則最小轉動慣量對應得軸過圖像中心。
5）通過 4）結論，直線 L 的確定可轉換為對選擇角度的求解，具體如下：
令 
，將圖像上點絕對坐標轉換為相對於圖像中心的相對坐標，帶入直線 L 方程得：
，重新改寫 
，
當前 E 僅包含未知量 
，再次改寫 
，其中
，
，
，
使用倍角公式 
，
，
，
通過以上分析，二值圖像朝向直線為經過中心點，且滿足 
的 直線，其中，a, b, c 為圖像二階矩。
4 形狀
在分析二值圖像朝向時，，該方程是關於 
的二次方程，
其系數 a, b, c 為可構成一個 2*2 矩陣，通過分析該矩陣的特征值與特征向量可以估計出二值圖像的形狀，具體如下：
，通過分析特征值與特征向量，可的如下結論：
1）較大特征值對應的特征向量方向即為二值圖像朝向；
2）兩個特征值相差越小，二值圖像越接近圓形。
5 示例
以下給出代碼，使用二階矩計算二值圖像朝向及形狀，使用直線擬合計算二值圖像朝向。可以發現，兩種求朝向方案都可得到基本一致的結果。
1 cv::Mat img = cv::imread(str, IMREAD_GRAYSCALE); 2 cv::Mat img_show; 3 img.copyTo(img_show); 4 5 // 提取二值圖像輪廓 6 std::vector<std::vector<cv::Point>> contours; 7 cv::findContours(img, contours, CV_RETR_EXTERNAL, CV_CHAIN_APPROX_NONE); 8 if (contours.size() <= 0) 9 return; 10 11 // 只考慮每個圖像上僅有一個二值圖像 12 cv::Moments moms = cv::moments(cv::Mat(contours[0])); 13 double cx = moms.m10 / moms.m00; 14 double cy = moms.m01 / moms.m00; 15 double angle = atan2(moms.mu11 * 2., moms.mu20 - moms.mu02); 16 double tan = tanf(angle * .5); 17 double dx[2] = { -300., 300. }; 18 double dy[2] = { dx[0] * tan, dx[1] * tan }; 19 20 cv::Point pt1(cx + dx[0], cy + dy[0]); 21 cv::Point pt2(cx + dx[1], cy + dy[1]); 22 cv::circle(img_show, cv::Point(cx, cy), 10, cv::Scalar(125), 3); 23 cv::line(img_show, pt1, pt2, cv::Scalar(125), 3); 24 cv::imwrite("rst1.bmp", img_show); 25 26 // 計算二值圖像圓形度 27 // 特征值比值（最大/最小）越接近1，圓形度越好 28 cv::Mat sym = cv::Mat::zeros(2, 2, CV_32FC1); 29 float *datasym = sym.ptr<float>(0); 30 datasym[0] = moms.mu20; 31 datasym[1] = moms.mu11; 32 datasym = sym.ptr<float>(1); 33 datasym[0] = moms.mu11; 34 datasym[1] = moms.mu02; 35 36 cv::Mat eg; 37 cv::eigen(sym, eg); 38 float e1 = eg.ptr<float>(0)[0]; 39 float e2 = eg.ptr<float>(1)[0]; 40 float circular = e1 / e2; 41 42 // 直線擬合 43 cv::Vec4f line_param; 44 cv::fitLine(contours[0], line_param, CV_DIST_L2, 0, .001, .001); 45 46 cv::Point pt0; 47 pt0.x = line_param[2]; 48 pt0.y = line_param[3]; 49 50 double k = line_param[1] / line_param[0]; 51 pt1.x = 0; 52 pt1.y = k * (0 - pt0.x) + pt0.y; 53 pt2.x = 480; 54 pt2.y = k * (480 - pt0.x) + pt0.y; 55 56 cv::line(img_show, pt1, pt2, cv::Scalar(50), 3); 57 cv::imwrite("rst2.bmp", img_show);
參考資料 Robot Vision Berthold Klaus Paul Horn