0范數，1范數，2范數的幾何意義

本文轉載自查看原文 2017-06-02 08:43 9475 數學知識

作者：魏通
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以下分別列舉常用的向量范數和矩陣范數的定義。

1-范數：

$||x||_1 = \sum_{i=1}^N|x_i|$ ，即向量元素絕對值之和，matlab調用函數norm(x, 1) 。

2-范數：

$||\textbf{x}||_2 =\sqrt{\sum_{i=1}^Nx_i^2}$ ，Euclid范數（歐幾里得范數，常用計算向量長度），即向量元素絕對值的平方和再開方，matlab調用函數norm(x, 2)。

$\infty$ -范數： $||\textbf{x}||_\infty = \max_{i}|x_i|$ ，即所有向量元素絕對值中的最大值，matlab調用函數norm(x, inf)。

$-\infty$ -范數： $||\textbf{x}||_{-\infty}=\min_i|x_i|$

，即所有向量元素絕對值中的最小值，matlab調用函數norm(x, -inf)。

p-范數： $||\textbf{x}||_p = (\sum_{i=1}^N|x_i|^p)^{\frac{1}{p}}$
，即向量元素絕對值的p次方和的1/p次冪，matlab調用函數norm(x, p)。

1-范數： $||A||_1 = \max_j\sum_{i=1}^m|a_{i,j}|$
，列和范數，即所有矩陣列向量絕對值之和的最大值，matlab調用函數norm(A, 1)。

2-范數： $||A||_2 = \sqrt{\lambda_1}$ ， $\lambda<br/>$ 為 A^TA 的最大特征值。

，譜范數，即A'A矩陣的最大特征值的開平方。matlab調用函數norm(x, 2)。

$\infty$ -范數： $||A||_\infty = \max_i\sum_{j=1}^N|a_{i,j}|$

，行和范數，即所有矩陣行向量絕對值之和的最大值，matlab調用函數norm(A, inf)。

F-范數： $||A||_F=\left(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n|a_{i,j}|^2\right)^{\frac{1}{2}}$

，Frobenius范數，即矩陣元素絕對值的平方和再開平方，matlab調用函數norm(A, ’fro‘)。

核范數： $||A||_* = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i, \lambda_i$ 是A的奇異值。

即奇異值之和。

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