拋物線有很多幾何性質，網上也有不少關於這些性質的推導的文章，不過幾乎清一色地都是用的解析幾何的方法。聯立方程，導出根與系數的關系，算算算算算……
但是，與同樣是二次曲線的橢圓和雙曲線不同，圓和拋物線的幾何性質非常「好」，不用坐標法，也能推出很多結論。不過相比具有完美對稱性的圓來說，拋物線還是遜色了許多。圓的切線很容易用幾何條件去描述（容易用反證法證出圓的切線垂直於過切點的直徑），而拋物線的切線雖然也容易用幾何條件描述，但相關結論卻難以用純幾何法證出。所以涉及切線問題時，還是需要用坐標法證明一個重要結論的。雖然如此，本文的證明過程還是要比帶着一大坨方程的純代數法清爽得多。
要證結論，得先給出定義：
定義 由平面內到一個定點和一條定直線距離相等的所有點構成的圖形，稱為拋物線. 定點稱為拋物線的焦點，定直線稱為拋物線的准線, 焦點到准線的距離稱為焦准距.
結論 1 拋物線是軸對稱圖形，准線過焦點的垂線是它的一條對稱軸.
證明
設焦點為 \(F\), 准線為 \(l\), 軸為 \(a\), 拋物線上有一點 \(P\). 過 \(P\) 作 \(PP'\perp l\), 垂足為 \(P'\). 當 \(P\) 不在 \(a\) 上時，作 \(P\) 關於 \(a\) 的對稱點 \(Q\), 作 \(P'\) 關於 \(a\) 的對稱點 \(Q'\). 連接 \(FP\)、\(FQ\). 由 \(a \perp l\) 知 \( PP'\parallel a \), 所以 \( QQ'\parallel a \), 所以 \(QQ' \perp l\). 由對稱知 \(PP'=QQ'\), \(FP=FQ\), 又 \( FP=PP' \), 所以 \( FQ=QQ' \), 所以 \(Q\) 在拋物線上, 結論得證.
定義 拋物線的准線過焦點的垂線稱為拋物線的軸, 軸與拋物線的交點稱為拋物線的頂點.
結論 2 設拋物線的焦點為 \(F\), 頂點為 \(O\), 焦准距為 \(p\), 對於拋物線上任意一點 \(P\), \(FP = \frac{p}{1+\cos{\angle{OFP}}}\).
證明
設 \(FP=\rho\), \(\angle{OFP}=\theta\).
如圖，當 \(\theta > 90^{\circ}\) 時，作 \(FP\) 在軸上的投影，易得 \(\rho = p-\rho\cos{\theta}\). 整理得 \(\rho = \frac{p}{1+\cos{\theta}}\), 即 \(FP = \frac{p}{1+\cos{\angle{OFP}}}\).
同理可證當 \(0^{\circ} < \theta < 90^{\circ}\) 時，結論仍然成立.
當 \(\theta = 90^{\circ}\) 時，\( PF=p \), 結論仍然成立。
當 \(\theta = 0^{\circ}\) 時，\( PF = \frac{p}{2} \), 結論仍然成立.
綜上，對於拋物線上任意一點 \(P\), 結論成立.
推論 1 設拋物線的焦准距為 \(p\), 過拋物線焦點 \(F\) 的直線與拋物線交於 \(A\)、\(B\) 兩點，則有 \(\frac{1}{AF}+\frac{1}{BF}=\frac{2}{p}\).
推論 2 設拋物線的頂點為 \(O\), 焦准距為 \(p\), \(\angle{OFP}=\theta\), 過拋物線焦點 \(F\) 的直線與拋物線交於 \(A\)、\(B\) 兩點，則有 \(AB=\frac{2p}{\sin^2{\theta}}\).
結論 3 設拋物線軸與准線的交點為 \(K\), 過拋物線焦點 \(F\) 的直線與拋物線交於 \(A\)、\(B\) 兩點, 則軸平分 \(\angle{AKB}\).
如圖，設准線為 \(l\), 軸為 \(a\), 過 \(A\) 作 \(AD\perp l\), 交 \(l\) 於 \(D\), 過 B 作 \(BC\perp l\), 交 \(l\) 於 \(C\).
\(\because\) \(AD\perp l\) 且 \(BC\perp l\)
\(\therefore\) \(AD\parallel a\) 且 \(BC\parallel a\)
\(\therefore\) \(\frac{KD}{KC}=\frac{FA}{FB} \)
又 \(\because\) \(FA=AD\) 且 \(FB=BC\)
\(\therefore\) \(\frac{KD}{KC}=\frac{AD}{BC} \)
\(\therefore\) \(\triangle{KDA}\sim \triangle{KCB}\)
\(\therefore\) \(\angle{DKA} = \angle{CKB}\)
\(\therefore\) 軸平分 \(\angle{AKB}\)
結論 4 設拋物線焦點為 \(F\), 准線為 \(l\), 軸與准線的交點為 \(K\), 過 \(F\) 的直線與拋物線交於 \(A\)、\(B\) 兩點，過 \(A\) 作 \(AD\perp l\), 交 \(l\) 於 \(D\), 過 B 作 \(BC\perp l\), 交 \(l\) 於 \(C\), 則\(FD\) 平分 \(\angle{KFA}\), \(FC\) 平分 \(\angle{KFB}\), \(FC\perp FD\).
證明
\(\because\) \(FB=BC\), \(FA=AD\)
\(\therefore\) \(\angle{AFD}=\angle{ADF}\), \(\angle{BFC}=\angle{BCF}\)
\(\because\) \(KF\parallel AD\), \(KF\parallel BC\)
\(\therefore\) \(\angle{KFD}=\angle{ADF}\), \(\angle{KFC}=\angle{FCB}\)
\(\therefore\) \(FD\) 平分 \(\angle{KFA}\), \(FC\) 平分 \(\angle{KFB}\)
\(\therefore\) \(FC\perp FD\)
結論 5 設拋物線焦點為 \(F\), 准線為 \(l\), 頂點為 \(O\), 過 \(F\) 的直線與拋物線交於 \(A\)、\(B\) 兩點，過 \(A\) 作 \(AD\perp l\), 交 \(l\) 於 \(D\), 過 B 作 \(BC\perp l\), 交 \(l\) 於 \(C\), 則 \(A\)、\(O\)、\(C\) 三點共線，\(B\)、\(O\)、\(D\) 三點共線.
證明
連接 \(AC\) 交軸於 \(O'\)
由 \(\triangle{AO'F}\sim \triangle{ACB}\) 得
\( \frac{BC}{O'F}= \frac{AB}{AF} \)
\( \frac{BF}{O'F}= \frac{AF+BF}{AF} \)
\( \frac{BF}{O'F}= 1+\frac{BF}{AF} \)
\( \frac{1}{O'F}= \frac{1}{BF}+\frac{1}{AF} \)
由結論 2 推論 1 得
\( \frac{1}{O'F}= \frac{2}{p} \)
\( O'F= \frac{p}{2} \)
\( \therefore \) \(O'\) 與 \(O\) 重合
\( \therefore \) \(A\)、\(O\)、\(C\) 三點共線
同理可得 \(B\)、\(O\)、\(D\) 三點共線.
\( \therefore \) 結論成立.
下面用坐標法證明拋物線切線的一個幾何性質，作為描述拋物線切線的幾何條件。
定理 在平面直角坐標系 \(xOy\) 中，焦點為 \( (0, \frac{p}{2}) \), 准線為 \( y=-\frac{p}{2} \) 的拋物線的方程為 \( x^2=2py \).
證明略.
結論 6 設拋物線頂點為 \(O\), 過頂點的切線為 \(l\), 拋物線上有一異於頂點的點 \(P\). 過點 P 作拋物線的切線 \(m\), 交 \(l\) 於 \(M\), \(P\) 在 \(l\) 上的投影為 \(P'\), 則 \(M\) 是 \(OP\) 的中點.
證明
如圖建系. 設 \( P(x_0, y_0) \)
\( y=\frac{x^2}{2p} \)
\(\Rightarrow y'=\frac{x}{p} \)
\(\Rightarrow m: y-y_0 = \frac{x_0}{p}(x-x_0)\)
令 \( y=0 \), 得
\( -y_0 = \frac{x_0}{p}(x-x_0)\)
解得
\( x = \frac{x_0}{2} \)
\( \therefore \) 結論得證
結論 7 設拋物線頂點為 \(O\), 焦點為 \(F\), 准線為 \(l\), 軸與准線的交點為 \(K\), 過頂點的切線為 \(m\), 拋物線上有一異於頂點的點 \(P\). 過點 \(P\) 作拋物線的切線 \(t\), 交 \(m\) 於 \(M\). 過 \(P\) 作 \(PD\perp l\), 交 \(l\) 於 \(D\), 則 \(F\)、\(D\)、\(M\) 三點共線，切線 \(PM\) 是 \(FD\) 的垂直平分線.
證明
由 \(O\) 是 \(KF\) 的中點及結論 6 可知，\(F\)、\(D\)、\(M\) 三點共線
\( \therefore \) \( DM=FM \)
又 \( \because \) \( PF=PD \), \( MP=MP \)
\( \therefore \) \( \triangle{PMF}\cong \triangle{PMD} \)
\( \therefore \) \(PM\) 垂直平分 \(FD\)
\( \therefore \) 結論得證
推論 從拋物線的焦點射出的光線，經拋物線反射后沿與拋物線的軸平行的方向射出.
結論 8 設拋物線焦點為 \(F\), 准線為 \(l\), 過頂點的切線為 \(m\), 過 \(F\) 的直線與拋物線交於 \(A\)、\(B\) 兩點，過 \(A\) 作 \(AD\perp l\), 交 \(l\) 於 \(D\), 過 B 作 \(BC\perp l\), 交 \(l\) 於 \(C\), 過 \(A\)、\(B\) 作分別拋物線的切線 \(t_1\)、\(t_2\), \( t_1\cap m=G \), \( t_2\cap m=H \), 則 \(t_1\) 與 \(t_2\) 的交點 \(T\) 在 \(l\) 上，\(TC=TD\), 且 \(TA\perp TB\).
證明
設 \( t_1\cap l=T_1 \), \( t_2\cap l=T_2 \).
由結論 4 及 結論 7 知，\(T_1G\perp FD\), \(CF\perp FD\)
\( \therefore \) \(T_1G\parallel CF\)
又由結論 7 知，\(G\) 是 \(FD\) 的中點
\( \therefore \) \(T_1G\) 是 \(\triangle{DFC}\) 的中位線
\( \therefore \) \(T_1\) 是 \(CD\) 的中點
同理可知，\(T_2\) 也是 \(CD\) 的中點
\( \therefore \) \(T_1\) 與 \(T_2\) 重合
\( \therefore \) \(t_1\) 與 \(t_2\) 在 \(m\) 上交於一點
設這一點為 \(T\).
由結論 4 及 結論 7 知，\(\angle{TGF}=\angle{GFH}=\angle{FHT}=90^{\circ}\)
\( \therefore \) \(\angle{HTG}=90^{\circ}\)
\( \therefore \) \(TG\perp TH\), 即 \(TA\perp TB\)
綜上，結論得證.
推論 1 四邊形 \(TGFH\) 是矩形.
推論 2 以 \(AB\) 為直徑的圓與准線相切，以 \(AF\) 為直徑的圓、以 \(BF\) 為直徑的圓與 \(m\) 相切.
能想到的性質暫時就這么多。歡迎補充。