數論——素數篩選法與整數的素因子分解

篩選法   

     求出n以內的素數，最快的應該是篩選法。

 篩選法的思路是：

     要求10000以內的素數，把1-10000都列出來，1不是素數，划掉；2是素數，所有2的倍數都不是素數，划掉；取出下一個幸存的數，划掉它的所有倍數；直到所有素數找完為止。

     這種做法的空間復雜度是O(n)，時間復雜度O(n/logn)。

 

 1 const int Max = 1000005;
 2 bool prime[Max]={0};//0表示素數，1為非素數
 3 
 4 //篩選n以內的素數
 5 void getPrime(int n)
 6 {
 7     int i,j;
 8     int t;
 9     for(i = 2; i <= n; i++)
10     {
11         if(!prime[i])
12         {
13             for(j = 2; (t=j*i) <= n; j++)
14                 prime[t] = 1;
15         }
16     }
17 }

 

分解素因子

     唯一質因子分解定理：任意一個合數a僅能以一種方式，寫成如下的乘積形式：

a = p1^e1*p2^e2*...*pr^er

    其中pi為素數，p1<p2<...<pr，且ei為正整數。例如數6000=2^4*3*5^3。

    素因子的分解技巧：首先a的某兩個素因子不可能同時大於sqrt(a)，這樣，先用篩選法求出sqrt(a)以內的所有素數，然后用a依次去mod這些素數，若能整除，則找到素因子，將素因子去掉，再繼續找。最后若a>1，則a也是它的素因子。

 

 1 const int Max = 100005;
 2 int isPrime[Max]={0};
 3 int prime[Max/5],num=0;
 4 int factors[100],s=0;
 5 
 6 void getPrime(int n)
 7 {
 8     int i,j;
 9     int t;
10     for(i = 2; i <= n; i++)
11     {
12         if(!isPrime[i])
13         {
14             prime[num++] = i;
15             for(j = 2; (t=i*j) <= n; j++)
16                 isPrime[t] = 1;
17         }
18     }
19 }
20 
21 void decompose(int n, int* factors)
22 {
23     int te = (int)sqrt(n*1.0);
24     for(int i = 0; i<num&&prime[i]<=te; i++)
25     {
26         if(n%prime[i]==0)
27         {
28             factors[s++] = prime[i];
29             while(n%prime[i]==0)
30                 n = n/prime[i];
31         }
32     }
33     if(n > 1)
34         factors[s++] = n;
35 }