【NYOJ-187】快速查找素數—— 枚舉法、篩選法、打表法

快速查找素數

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難度： 3

 

描述

現在給你一個正整數N，要你快速的找出在2.....N這些數里面所有的素數。

輸入

給出一個正整數數N(N<=2000000)
但N為0時結束程序。
測試數據不超過100組

輸出

將2~N范圍內所有的素數輸出。兩個數之間用空格隔開

樣例輸入

5
10
11
0

樣例輸出

　　　　2 3 5

　　　   2 3 5 7

　　　   2 3 5 7 11

【分析】

• 枚舉法：

//根據概念判斷:
//如果一個正整數只有兩個因子, 1和p，則稱p為素數.
//代碼:
bool isPrime(int n)
{
    if(n < 2) return false;

    for(int i = 2; i < n; ++i)
        if(n%i == 0) return false;
    return true;
}
//時間復雜度O(n)

//改進, 去掉偶數的判斷
//代碼:
bool isPrime(int n)
{
    if(n < 2) return false;
    if(n == 2) return true;
    if(n % 2 == 0) return false;
    for(int i = 3; i < n; i += 2)
        if(n%i == 0) return false;
    return true;
}
//時間復雜度O(n/2), 速度提高一倍.

/進一步減少判斷的范圍
//定理: 如果n不是素數, 則n有滿足1<d<=sqrt(n)的一個因子d.
//證明: 如果n不是素數, 則由定義n有一個因子d滿足1<d<n.
//如果d大於sqrt(n), 則n/d是滿足1<n/d<=sqrt(n)的一個因子.
//代碼:
bool isPrime(int n)
{
    if(n < 2) return false;
    if(n == 2) return true;
    if(n % 2 == 0) return false;
    for(int i = 3; i*i <= n; i += 2)
        if(n%i == 0) return false;
    return true;
}
//時間復雜度O(sqrt(n)/2), 速度提高O((n-sqrt(n))/2).

• 篩選法

　　顯然以上的枚舉法，不管如何改進都是不能AC的，所以枚舉法肯定是行不通的。

　　用篩法求素數的基本思想是：把從1開始的、某一范圍內的正整數從小到大順序排列， 1不是素數，首先把它篩掉。剩下的數中選擇最小的數是素數，然后去掉它的倍數。依次類推，直到篩子為空時結束。如有：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 

　　1不是素數，去掉。剩下的數中2最小，是素數，去掉2的倍數，余下的數是：

　　3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

　　剩下的數中3最小，是素數，去掉3的倍數，如此下去直到所有的數都被篩完，求出的素數為：

　　2 3 5 7 11 13 17 19 23 29

//篩法判斷素數 一
#include<cstdio>
#define MAXN 2000001
int a[MAXN],i,j;
int main(){
    int m;
    //篩選出二百萬內的所有素數
    for(i = 2;i <= 2000000;i++){
        if(a[i]==0)
            //利用數組的下標，將i的倍數全部篩掉
            for(j = i + i;j <= 2000000;j += i)
                a[j] = 1;
    }
    while(scanf("%d",&m) && m!=0){
        //從數組中依據下標取出[2,m]內的所有素數
        for(i = 2;i <= m;i++){
            if(a[i] == 0){
                printf("%d ",i);
            }
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

//篩法判斷素數 二
#include<cstdio>
#define MAXN 2000001
int a[MAXN],i,j;
int main(){
    int m;
    while(scanf("%d",&m) == 1 && m!=0){
        //m有多大，數組用多大
        for(i = 2;i <= m;i++)
            a[i] =i;
        //m/2縮小范圍
        for(i = 2;i <= m/2;i++){
            if(a[i] != 0){
                for(j=i+i;j <= m;j += i){
                    //將i的倍數全部篩掉
                    a[j] = 0;
                }
            }
        }
        for(i = 2;i <= m;i++){
            if(a[i] != 0) printf("%d\n",a[i]);
        }
    //    printf("\n");
    }
    return 0;
}

• 素數打表法

　　正在研究..... 先挖個坑。

　　順便吐槽NYOJ的服務器。還能再爛么？