一、什么是素數？
素數又稱為質數。素數定義為在大於1的自然數中，除了1和它本身以外不再有其他因數。素數在日常中最多的應用就是加密算法，例如RSA加密算法就是基於來實現的。RSA算法會隨機生成兩個1024位的質數相乘，要破解密碼必須對乘積做質因數分解，而1024位的質因數分解是非常困難的。
二、如何快速的算出小於某個數的所有素數？
從素數的概念上似乎可以很快得出一個算素數的公式，即將一個數循環做除法，從1一直除到它本身，如果中途只有被1和自己整除了這個數便是素數了，這樣的計算效率是非常差的，因為他會不停的遍歷整個數據范圍。我們來試着跑一下它的效率：
#求10萬以內的素數 import datetime start = datetime.datetime.now() for i in range(2,100000): for j in range(2,i): if i%j == 0: break #else: #print(i) stop = datetime.datetime.now() print(stop-start)
運行結果： 0:01:04.326679 ，在沒有print的情況下竟然用了1分多鍾，並且數字越大計算越慢。這樣的效率肯定是不被允許的。下面介紹一種最常見的質數算法的原理：
三、埃拉托色尼素數篩選法
埃拉托色尼是一名古希臘的地理學家，他是世界上第一個計算出地球周長的人。埃拉托色尼素數篩選法可以很快速的計算出1到N之間的所有素數。將n開根號，即N^0.5，去掉2到N^0.5中所有素數的倍數，剩下的數便都是素數了。例如求1到25中的素數有哪些，第一步是將25開根號，得到5；第二步將2到5的素數取出來，分別是2、3、5；再將2到25中且是2、3、5的倍數的數去掉，即去掉4、6、8、9、10、12、14、15、16、18、20、21、22、24、25，剩下2、3、5、7、11、13、17、19便是1到25中的所有素數了。
這里還用到了一個數學知識，即只要小於或等於根號N的數（1除外）不能整除N，則N一定是素數；反過來說就是只要小於或等於根號N的數（1除外）能整除N，則N一定是合數。下面給出證明過程：
假設一個數N是合適，那一定存在一個因數b和一個非1且非自身的因數a，即a*b=N
等式兩邊同時開根號得出：(a*b)^0.5=a^0.5*b^0.5=N^0.5
可以推出：若N為合數，則a和b中一定有一個大於或等於N^0.5，另一個小於或等於N^0.5
按照這個結論，就只需計算小於等於N^0.5的數了，這樣就大大提高了效率（要注意等於N^0.5的這個邊界）：
#求10萬以內的素數 import datetime start = datetime.datetime.now() for i in range(2,100000): for j in range(2,int(i**0.5+1)): #邊界需要加1 if i%j == 0: break #else: #print(i) stop = datetime.datetime.now() print(stop-start)
運行結果： 0:00:00.428024 。可以說是質的飛躍。
再優化
我們也可以將偶數事先就排除在外，然后在進行素數篩選：
#求10萬以內的素數 import datetime start = datetime.datetime.now() print(2) for i in range(3,100000,2): #從3開始，跳過偶數 for j in range(2,int(i**0.5+1)): if i%j == 0: break #else: #print(i) stop = datetime.datetime.now() print(stop-start)
運行結果： 0:00:00.406024 ，又快了不少。
再次優化：
可以思考：在第一個for循環中已經將跳過了所有的偶數，在 if i%j == 0: 語句中i只有奇數，而在數學中任何奇數除以偶數是一定除不盡的，也就數說當j為偶數時，語句 i%j == 0: 一定是為假的。所以可以將j中的偶數也去掉：
#求10萬以內的素數 import datetime start = datetime.datetime.now() print(2) for i in range(3,100000,2): #從3開始，跳過偶數 for j in range(3,int(i**0.5+1),2): #再將j的偶數去掉 if i%j == 0: break #else: #print(i) stop = datetime.datetime.now() print(stop-start)
運行結果： 0:00:00.271016 ，比之前的有快了20毫秒。
再三優化：
用列表的方式進行算法再優化。思路是將每次i循環后如果得到的i是素數則將它累加到一個列表中，並使j在for循環中以這個列表為可迭代對象進行迭代循環，因為列表中所有的元素都是素數，所以j如果迭代到小於等於i^0.5次方時沒有能整除的數，說明大於i^0.5次方時也沒有能整除的，即此時的i就是素數。這里也用到了一個數學原理：一個數如果能被小於它的素數整除則它一定是一個合數，反之它一定是一個素數。
import datetime start = datetime.datetime.now() n = 100000 lst = [] flag = True #print(2) for i in range(3,n,2): up = i**0.5 for j in lst: if j > up: flag = True break if i % j ==0: flag = False break if flag: #print(i) lst.append(i) stop = datetime.datetime.now() print(stop-start)
運行結果： 0:00:00.177010 ，又快了！
其它優化方案：
優化方向：
1.孿生素數對猜想：大於等於5的素數一定與6的倍數相鄰。
2.在奇數中在排除5的倍數。