算法筆記_012:埃拉托色尼篩選法（Java）

1 問題描述

Compute the Greatest Common Divisor of Two Integers using Sieve of Eratosthenes.

翻譯：使用埃拉托色尼篩選法計算兩個整數的最大公約數。（PS：最大公約數也稱最大公因數，指兩個或多個整數共有約數中最大的一個）

 

 

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2 解決方案

2.1 埃拉托色尼篩選法原理簡介

引用自百度百科：

埃拉托色尼篩選法(the Sieve of Eratosthenes)簡稱埃氏篩法，是古希臘數學家埃拉托色尼(Eratosthenes 274B.C.～194B.C.)提出的一種篩選法。 是針對自然數列中的自然數而實施的，用於求一定范圍內的質數，它的容斥原理之完備性條件是p=H~。

具體求取質數的思想：

（1）先把1刪除（現今數學界1既不是質數也不是合數）

（2）讀取隊列中當前最小的數2，然后把2的倍數刪去

（3）讀取隊列中當前最小的數3，然后把3的倍數刪去

（4）讀取隊列中當前最小的數5，然后把5的倍數刪去

（5）如上所述直到需求的范圍內所有的數均刪除或讀取

下面看一下執行上述步驟求不大於100的所有質數的一個示意圖：

 

 

2.2 具體編碼

本文求取兩個數的最大公約數，采用質因數分解法：把每個數分別分解質因數，再把各數中的全部公有質因數提取出來連乘，所得的積就是這幾個數的最大公約數。

例如：求24和60的最大公約數，先分解質因數，得24=2×2×2×3，60=2×2×3×5，24與60的全部公有的質因數是2、2、3，它們的積是2×2×3=12，所以，（24，60）=12。

此處，第一步，先使用埃拉托色尼篩選法求取不大於數A的所有質數，然后從這些質數中選取A的所有質因數；第二步，依照第一步思想求取數B的所有質因數；第三步，求取數A和數B公共質因數；第四步，輸出數A和數B的最大公約數。

具體代碼如下：

 

package com.liuzhen.ex1;

import java.util.Scanner;

public class SieveOfEratosthenes {
    //返回一維數組，數組中的元素為不大於n的所有質數
    public static int[] getPrime(int n){
        int[] result1 = new int[n];   //定義一個一維數組，並從第2個元素依次初始化為相應的自然數
        for(int i = 2;i < n+1;i++){    
            result1[i-1] = i;
        }
        for(int i = 2;i < n;i++){
            for(int j = i+1;j < n+1;j++){
                if(j % i == 0)          //如果j能夠整除i，使result[j-1]等於0
                    result1[j-1] = 0;
            }
        }
        int[] result2 = getNoneZero(result1);  //除去result數組中所有0元素
        return result2;     //數組中非零元素即為不大於n的所有質數
    }
    
    //返回一維數組，該數組的元素為參數數組中所有不為0的元素值
    public static int[] getNoneZero(int[] A){
        int len = 0; 
        for(int i = 0;i < A.length;i++){
            if(A[i] != 0)
                len = len+1;
        }
        int[] result = new int[len];
        int k = 0;
        for(int i = 0;i < A.length;i++){
            if(A[i] != 0){
                result[k] = A[i];
                k++;
            }
        }
        return result;
    }
    
    //求取一個數n的所有質因數(eg:24=2×2×2×3,則result[] = {2,2,2,3})
    public static int[] getNprime(int n){
        int[] primes = getPrime(n);
        int[] result;        //最終返回結果集
        int len = 0;         //返回結果集數組長度，初始化為0
        for(int i = 0;i < primes.length;i++){
            int temp = n;
            while(temp % primes[i] == 0){
                temp = temp/primes[i];
                len++;
            }
        }
        result = new int[len];
        int k = 0;
        for(int i = 0;i < primes.length;i++){
            int temp = n;
            while(temp % primes[i] == 0){
                temp = temp/primes[i];
                result[k] = primes[i];
                k++;
            }
        }
        return result;
    }
    
    //返回兩個一維數組中所有共同元素
    public static int[] getCommonPrime(int[] A , int[] B){
        int[] result;
        int lenA = A.length;
        int lenB = B.length;
        if(lenA < lenB){
            result = new int[lenA];
            for(int i = 0;i < lenA;i++){
                int temp = A[i];
                for(int j = 0;j < lenB;j++){
                    if(temp == B[j]){
                        result[i] = A[i];
                        B[j] = 0;
                        break;
                    }
                }
            }
        }
        else{
            result = new int[lenB];
            for(int i = 0;i < lenB;i++){
                int temp = B[i];
                for(int j = 0;j < lenA;j++){
                    if(temp == A[j]){
                        result[i] = B[i];
                        A[j] = 0;
                        break;
                    }
                }
            }
        }
        int[] result1 = getNoneZero(result);
        return result1;
    }
    
    //求取數A和B的最大公約數
    public static void getMaxCommonDivisor(int A,int B){
        int[] primesA =  getNprime(A);  //數A所有質因子
        int[] primesB = getNprime(B);   //數B所有質因子
        int[] resultPrime = getCommonPrime(primesA,primesB);  //數A和數B的公共質因數
        int maxCommonDivisor = 1;
        System.out.println(A+"和"+B+"的公共質因數為：");
        for(int i = 0;i < resultPrime.length;i++){
            maxCommonDivisor *= resultPrime[i];
            System.out.print(resultPrime[i]+"\t");
        }
        System.out.println();
        System.out.print(A+"和"+B+"的最大公約數為："+maxCommonDivisor);
    }
    
    public static void main(String[] args){
        System.out.println("請輸入數字A和數字B的值：");
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        int a = in.nextInt();
        int b = in.nextInt();
        getMaxCommonDivisor(a,b);
    }
}

 

運行結果：

請輸入數字A和數字B的值：
100 60
100和60的公共質因數為：
2    2    5    
100和60的最大公約數為：20


請輸入數字A和數字B的值：
60 48
60和48的公共質因數為：
2    2    3    
60和48的最大公約數為：12


請輸入數字A和數字B的值：
120 54
120和54的公共質因數為：
2    3    
120和54的最大公約數為：6