Java算法——分治法

     一、基本概念
　　在計算機科學中，分治法是一種很重要的算法。字面上的解釋是“分而治之”，就是把一個復雜的問題分成兩個或更多的相同或相似的子問題，再把子問題分成更小的子問題……直到最后子問題可以簡單的直接求解，原問題的解即子問題的解的合並。這個技巧是很多高效算法的基礎，如排序算法(快速排序，歸並排序)，傅立葉變換(快速傅立葉變換)……
　　任何一個可以用計算機求解的問題所需的計算時間都與其規模有關。問題的規模越小，越容易直接求解，解題所需的計算時間也越少。例如，對於n個元素的排序問題，當n=1時，不需任何計算。n=2時，只要作一次比較即可排好序。n=3時只要作3次比較即可，…。而當n較大時，問題就不那么容易處理了。要想直接解決一個規模較大的問題，有時是相當困難的。

 

　　二、基本思想及策略
　　分治法的設計思想是：將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規模較小的相同問題，以便各個擊破，分而治之。
　　分治策略是：對於一個規模為n的問題，若該問題可以容易地解決（比如說規模n較小）則直接解決，否則將其分解為k個規模較小的子問題，這些子問題互相獨立且與原問題形式相同，遞歸地解這些子問題，然后將各子問題的解合並得到原問題的解。這種算法設計策略叫做分治法。
　　如果原問題可分割成k個子問題，1<k≤n，且這些子問題都可解並可利用這些子問題的解求出原問題的解，那么這種分治法就是可行的。由分治法產生的子問題往往是原問題的較小模式，這就為使用遞歸技術提供了方便。在這種情況下，反復應用分治手段，可以使子問題與原問題類型一致而其規模卻不斷縮小，最終使子問題縮小到很容易直接求出其解。這自然導致遞歸過程的產生。分治與遞歸像一對孿生兄弟，經常同時應用在算法設計之中，並由此產生許多高效算法。

 

　　三、分治法使用場景
　　分治法所能解決的問題一般具有以下幾個特征：
　　1) 該問題的規模縮小到一定的程度就可以容易地解決
　　2) 該問題可以分解為若干個規模較小的相同問題，即該問題具有最優子結構性質。
　　3) 利用該問題分解出的子問題的解可以合並為該問題的解；
　　4) 該問題所分解出的各個子問題是相互獨立的，即子問題之間不包含公共的子子問題。
　　第一條特征是絕大多數問題都可以滿足的，因為問題的計算復雜性一般是隨着問題規模的增加而增加；
　　第二條特征是應用分治法的前提它也是大多數問題可以滿足的，此特征反映了遞歸思想的應用；、
　　第三條特征是關鍵，能否利用分治法完全取決於問題是否具有第三條特征，如果具備了第一條和第二條特征，而不具備第三條特征，則可以考慮用貪心法或動態規划法。
　　第四條特征涉及到分治法的效率，如果各子問題是不獨立的則分治法要做許多不必要的工作，重復地解公共的子問題，此時雖然可用分治法，但一般用動態規划法較好。

　　四、分治法得基本步驟
　　分治法在每一層遞歸上都有三個步驟：
　　step1 分解：將原問題分解為若干個規模較小，相互獨立，與原問題形式相同的子問題；
　　step2 解決：若子問題規模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個子問題
　　step3 合並：將各個子問題的解合並為原問題的解。

　　五、分治法的復雜性分析
　　一個分治法將規模為n的問題分成k個規模為n／m的子問題去解。設分解閥值n0=1，且adhoc解規模為1的問題耗費1個單位時間。再設將原問題分解為k個子問題以及用merge將k個子問題的解合並為原問題的解需用f(n)個單位時間。用T(n)表示該分治法解規模為|P|=n的問題所需的計算時間，則有：
　　T（n）= k T(n/m)+f(n)
　　通過迭代法求得方程的解：
　　遞歸方程及其解只給出n等於m的方冪時T(n)的值，但是如果認為T(n)足夠平滑，那么由n等於m的方冪時T(n)的值可以估計T(n)的增長速度。通常假定T(n)是單調上升的，從而當mi≤n<mi+1時，T(mi)≤T(n)<T(mi+1)。

    六、可使用分治法求解的一些經典問題
　　（1）二分搜索
　　（2）大整數乘法
　　（3）Strassen矩陣乘法
　　（4）棋盤覆蓋
　　（5）合並排序
　　（6）快速排序
　　（7）線性時間選擇
　　（8）最接近點對問題
　　（9）循環賽日程表
　　（10）漢諾塔

 

    七、分治法示例——循環賽

public class SportsSchedule {
public static void scheduleTable(int[][] table, int n) {
if (n == 1) {
table[0][0] = 1;
} else {
// 填充左上區域矩陣
int m = n >> 1;
scheduleTable(table, m);
// 填充左下區域矩陣
for (int i = m; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < m; j++) {
table[i][j] = table[i - m][j] + m;
}
}
// 填充右上區域矩陣
for (int i = 0; i < m; i++) {
for (int j = m; j < n; j++) {
table[i][j] = table[i][j - m] + m;
}
}
// 填充右下區域矩陣
for (int i = m; i < n; i++) {
for (int j = m; j < n; j++) {
table[i][j] = table[i - m][j - m];
}
}
}
}

public static void main(String[] args) {
int n = 8;
int[][] table = new int[n][n];
scheduleTable(table, n);
for (int i = 0; i < table.length; i++) {
for (int j = 0; j < table[i].length; j++) {
System.out.print(table[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
}
}