算法中的遞歸分析和分治法的原理


分析遞歸算法三種方法
替換法、迭代法、通用法(master method)
作用:分析遞歸算法的運行時間
 
分治算法
將一個問題分解為與原問題相似但規模更小的若干子問題, 遞歸地解這些子問題,然后將這些子問題的解結合起來構成原問題的解。這種方法在每層遞歸上均包括三個步驟:
divide(分解):將問題划分為若干個子問題
conquer(求解):遞歸地解這些子問題;若子問題Size足夠小,則直接解決之
Combine(組合):將子問題的解組合成原問題的解
 
其中的第二步很關鍵:遞歸調用或直接求解  (遞歸終結條件),且有的算法“分解”容易,有的則“組合”容易
 
分治法舉例:
 
歸並排序
①分解:把n個待排序元素划分為兩個Size為n/2的子序列
②求解:遞歸調用歸並排序將這兩個子序列排序,若子序列長度為1時,已自然有序,無需做任何事情(直接求解)
③組合:將這兩個已排序的子序列合並為一個有序的序列

顯然,分解容易(一分為二),組合難。

快速排序 

剛剛分析過了,快速排序是樞軸記錄划分,也就是分解難,但是組合易。   A[1…k-1] ≤ A[k] ≤ A[k+1…n]

分治算法分析
設T(n)是Size為n的執行時間,若Size足夠小,如n ≤ C (常數),則直接求解的時間為θ(1)
①設完成划分的時間為D(n)
②設分解時,划分為a個子問題,每個子問題為原問題的1/b,則解各子問題的時間為aT(n/b)
③設組合時間C(n)
 
一般地,遞歸的求解划分,而解遞歸式時可忽略細節
①假定函數參數為整數,如
 
②邊界條件可忽略,當n較小時,T(n)= θ(1)

因為這些細節一般只影響常數因子的大小,不改變量級。求解時,先忽略細節,然后再決定其是否重要!

分析的方法

替換法

猜測解,用數學歸納法確定常數C,證明解正確,關鍵步驟是用猜測的解代入到遞歸式中。
 
做出好的猜測(沒有一般方法,只能憑經驗)
①與見過的解類似,則猜測之。
②先證較寬松的上、下界,減小猜測范圍。
 
細節修正
有時猜測解是正確的,但數學歸納法卻不能直接證明其細節,這是因為數學歸納法不是強大到足以證明其細節。這時可從猜測解中減去一個低階項以使數學歸納法得以滿足
 
避免陷阱
與求和式的數學歸納法類似,證明時漸近記號的使用易產生錯誤。
 
變量變換
有時改動變量能使未知遞歸式變為熟悉的式子。例如:
 
迭代法
展開:無須猜測,展開遞歸式,使其成為僅依賴於n和邊界條件的和式,然后用求和方法定界。需要關注:
1、達到邊界條件所需的迭代次數
2、迭代過程中的和式。若在迭代過程中已估計出解的形式,亦可用替換法
3、當遞歸式中包含floor和ceiling函數時,常假定參數n為一個整數次冪,以簡化問題。
 
遞歸樹
使展開過程直觀化
例: T(n)=2T(n/2)+n^2   (不妨設n=2k)
 

The master method(通用法,萬能法)

可迅速求解

T(n)=aT(n/b)+f(n)   //常數a ≥1, b>1, f(n)漸近正
意義:將Size為n的問題划分為a個子問題,每個子問題Size為n/b。每個子問題的時間為T(n/b),划分和combine的時間為f(n)。
注意:n/b不一定為整數,應為⌊n/b⌋或⌈n/b⌉,不會影響漸近界。
 
關於遞歸和循環的理解與比較

遞歸通俗的說就是一個函數調用函數自己(本身),這個調用過程叫遞歸,遞歸是一把雙刃劍(有時方便,有時不好),如果需要處理重復的需要多次計算的問題,通常可以選擇用遞歸或者循環兩種方式,但是遞歸的執行效率不如循環語句。

注意:必須設置終止遞歸的條件檢測,否則慎用。

void up_and_down(int);//函數原型聲明
int main() { up_and_down(1);//調用遞歸函數

system(
"pause");
return 0; }
void up_and_down(int n) { printf("level%d, n地址=%p\n", n, &n); if (n < 4) { up_and_down(n + 1); } printf("LEVEL%d, n地址=%p\n", n, &n); }

首先,main函數用參數1調用遞歸函數,遞歸函數形參n=1,打印語句level1……然后,n<4,故函數本身使用參數n+1=2,第二次調用自己,這樣就打印了level2……

以此類推,當執行到第四級調用,n=4,if失效,不再調用函數,而是執行了第二句打印,先輸出LEVEL4……此時第四級調用結束,控制權返回給了主調函數,也就是第三級主調函數,此函數中上一句是if語句,已經執行完畢,然后繼續執行第二句打印語句,輸出LEVEL3……第三級調用結束,返回控制權給調用函數(也就是第二級主調函數),然后第二級函數開始繼續執行,以此類推,打印LEVEL2,1……

遞歸的基本原理

每一級遞歸都使用自己這一級的私有變量n,同級調用時的地址和返回的地址是一樣的。好好揣摩!

這是函數自己在一層層的往深度調用自己,然后一層層的往回返,每到一層,就繼續執行接下來的語句(故調用開始的地址和返回的地址一樣),而每一級遞歸都是用自己的局部變量。也就是第一級的n不同於第二級的n,這樣子,函數逐步調用然后逐步返回直到main函數里。

遞歸函數里,遞歸語句之前的語句和各級被調的遞歸函數執行順序一致,而遞歸語句之后的語句和被調的遞歸函數執行順序相反(這一特點針對涉及反向順序的編程問題很有用) 

遞歸函數必須包含可以終止的條件,因為遞歸可以替代循環,故必須有終止

尾遞歸

最簡單的遞歸:遞歸語句放到函數末尾,恰在return語句前,叫做tail recursion(尾遞歸),因為出現在函數尾部,作用相當於一條循環語句。

//計算階乘(遞歸和循環)
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
//計算階乘
int factorial(int);
int loopFactorial(int);

int main()
{
    int num;
    printf("輸入1-12的整數,q退出\n");
    while (scanf_s("%d", &num))
    {
        if (num < 0)
        {
            printf("error!輸入1-12的整數!");
        }
        else if (num > 12)
        {
            printf("輸入1-12的整數!");
        }
        else
        {
            printf("\n%d的階乘=%d", num, factorial(num));
            printf("\n%d的階乘=%d", num, loopFactorial(num));
        }
        printf("\n輸入1-12的整數");
    }
    system("pause");
    return 0;
}
//循環計算階乘
int factorial(int n)
{
    int temp;
    for (temp = 1; n > 1; n--)
    {
        temp *= n;
    }
    return temp;
}
//使用遞歸計算階乘
int loopFactorial(int n)
{
    int temp;
    if (n > 0)
    {
        temp = n * loopFactorial(n - 1);//屬於尾遞歸,如n>0那么這就是最后一句
    }
    else
    {
        temp = 1;//必須要有遞歸結束判斷條件!
    }
    return temp;
}

注意:整型范圍,32位機器,int類型最大到21多億,再大的話,就要用long long或者double類型,一般來說,選擇循環比較好些,遞歸每次調用都要有自己的變量集合,占據內存大,每次都要存儲新的變量集合到堆棧,這樣速度慢,但是遞歸(最簡單的是尾遞歸)比較簡單。一些情況還是要用。

 

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