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算法導論 課程設計
題 目： 算法導論課程設計實驗報告
學院班級： 1613013 學 號： 16130130216 姓 名： 庫 妍 主講教師： 張立勇 日 期： 2019.6.3 |
錄
分治法
一、Implement exercise 2.3-7........................................4
二、Implement priority queue........................................6
三、Quicksort.......................................................8
四、找出第k大的元素...............................................10
動態規划法
一、Matrix-chain product...........................................13
二、Longest Common Subsequence (LCS)................................15
三、Longest Common Substring.......................................16
四、Max Sum........................................................18
五、Shortest path in multistage graphs.............................19
貪心法
一、Knapsack Problem...............................................22
二、scheduling problem.............................................23
三、Single-source shortest paths...................................24
四、All-pairs shortest paths.......................................26
回溯法
一、0/1 Knapsack Problem...........................................29
二、8-Queen problem................................................30
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算法導論 課程設計
題 目： 分 治 法
學院班級： 1613013 學 號： 16130130216 姓 名： 庫 妍 主講教師： 張立勇 日 期： 2019.3.21 |
一、Implement exercise 2.3-7
1、實驗題目
描述一個運行時間為O(nlgn)的算法，給定n個整數的集合S和另一個整數x，該算法能確定S中是否存在兩個其和剛好為x的元素。
2、使用的算法
（1）運用歸並排序算法，先對集合中的整數進行排序。
（2）歸並排序后，運用二分查找兩個數和為x的元素。
3、算法分析與設計
（1）首先將S進行排序，然后再通過查找算法進行查找。插入排序算法復雜度最差O（n^2），歸並排序最差為O（nlgn），堆排序為最差為O（nlgn），快速排序最差為O（n^2），這里直接使用歸並排序。歸並排序運用的是分治思想，時間復雜度為 O(nlgn)，能夠滿足題目要求的運行時間。
①分解（devide）：歸並排序將n個元素分成各含n/2g個元素的子序列，對已經分解的兩個部分再進行分解直到將數組分解成單個元素為止。
②解決（conquer）：用合並排序法遞歸求解排序子序列。
③合並（combine）：合並部分是將已經排序的兩個子序列進行合並得到結果。
（2）二分查找又稱折半查找，優點是比較次數少，查找速度快，平均性能好，占用系統內存較少。折半查找法也稱為二分查找法，它充分利用了元素間的次序關系，采用分治策略，可在最壞的情況下用O(lg n)完成搜索任務。它的基本思想是，將n個元素分成個數大致相同的兩半，取a[n/2]與欲查找的x作比較，如果x=a[n/2]則找到x，算法終止。如 果x<a[n/2]，則我們只要在數組a的左半部繼續搜索x(這里假設數組元素呈升序排列)。如果x>a[n/2]，則我們只要在數組a的右 半部繼續搜索x。
1、項目測試（功能與性能）
時間復雜度為O（nlgn）
1、實驗總結
遇到的問題及解決：
MERGE過程中，子數組A[p..q]和A[q+1..r]，待合並個數n1 = q - p + 1，n2 = r - q，計算時容易出錯。
另外，進行二分查找時right = A.length - 1，數組最后一個元素的下標是數組A的長度減1。
二、Implement priority queue
1、實驗題目
實現優先級隊列，即需要支持以下操作：INSERT(S,x):把元素x插入到集合S中；MAXMUM(S):返回S中具有最大key的元素；EXTRACT-MAX(S):去掉並返回S中的具有最大key的元素； INCREASE-KEY(S,x,k)：將元素x的關鍵字值增到k。
2、使用的算法
運用堆排序，來實現優先隊列。
3、算法分析與設計
（1）堆排序是利用堆這種數據結構而設計的一種排序算法，堆排序是一種選擇排序，它的最壞，最好，平均時間復雜度均為O(nlogn)，它也是不穩定排序。堆排序算法分為3個過程，MAX-HEAPIEY:調整堆以滿足小頂堆性質，其時間復雜度為O(lgn)；BUILD-MAXHEAP:從無序的輸入數據數組中構造小頂堆，其時間復雜度為線性時間;HEAP-SORT:對數組進行原址排序，其時間復雜度為O(nlgn)。
（2）在堆的基礎上實現優先隊列INSERT、MAXMUM、EXTRACT-MAX、INCREASE-KEY，時間復雜度為O(lgn)。
4、項目測試（功能與性能）
1、實驗總結
編寫HEAP-EXTRACT-MAX函數的時候，當去掉第一個元素后，程序要調用MAX-HEAPIFY進行調整堆，否則最后序列是無序狀態。另外，開始沒有理解BUILD-MAX-HEAP的過程，當對某結點調用BUILD-MAX-HEAP時，該結點的兩棵子樹都已是最大堆。
三、Quicksort
1、實驗題目
實現quick_sort算法，並且回答以下兩個問題：
（1）待排數組中的元素值都相同的情況下，運用quick_sort需要進行多少次比較？
（2）對於n個元素的數組，運用quick_sort舉出需要進行比較次數的上限和下限是多少？
2、使用的算法
使用了快速排序算法。
3、算法分析與設計
快速排序采用分治策略，時間復雜度為O(nlgn),但是最壞情況下為O(n2),並且快速排序算法屬於原地排序，並不需要開辟空間。快速排序復雜的步驟為其分解的步驟。
①分解（divide）：數組A[p..r]被划分為兩個子數組A[p..q-1]和A[q+1..r], 使得A[p..q-1]中的每個元素都小於等於A[q],而且，小於等於A[q+1..r] 中的每個元素。下標q也在這個划分過程中進行計算。
②解決（conquer）：通過遞歸調用快速排序，對子數組A[p..q-1]和A[q+1..r] 進行排序。
③合並（combine）：因為兩個子數組是就地排序的，將它們的合並不需要操 作，整個數組A[p..r]已排序。
4、項目測試（功能與性能）
5、實驗總結
問題回答：
（1）當選擇第一個或最后一個參考點時，當n個元素相同時為最壞情況，比較的數目是n *（n-1）/ 2。
（2）快速排序比較的最小數目是nlgn，最大的比較數是n^2。
四、找出第k大的元素
1、實驗題目
運用分治的策略將兩個已經排好序的序列中，找出第k大的元素，且要求時間復雜度為O(lgm + lgn),其中m和n分別為兩個序列的長度。
2、使用的算法
使用分治策略
3、算法分析與設計
解法一：
（1）分解：因為已經是兩個獨立的的序列，所以不用進行分解。
（2）解決：因為兩個序列為已經排好的序列，因此不用分開進行排序。
（3）利用歸並排序中的merge函數，將這兩個序列分別看成是L[]和R[]兩個數組，通過開辟一個新的數組，將兩個數組合並成一個新的排好序的序列，在根據要求的k值，對新的數組進行取值。
解法二：題目只要求第k大的數，沒必要花力氣將數組全部再排序，可以定義兩個游標分別指向兩個有序數組，按序移動，並用count計數，當count等於k時，返回兩個游標指向的數中最小的那一個。
4、項目測試（功能與性能）
時間復雜度為O(lgm + lgn)。
5、實驗總結
理解分治策略的三個步驟：分解、解決和合並在具體問題上的應用，根據時間復雜度與所學的算法進行結合。為了解決一個問題，算法要一次或多次地調用其自身來解決相關的子問題，這些算法常采用分治策略。分治法將原問題划分成n個規模較小而結構與原問題相似的子問題，遞歸地解決這些子問題，然后合並其結果，得到子問題的解。