目錄
1 問題描述
1.1實驗題目
設M1和M2是兩個n×n的矩陣，設計算法計算M1×M2 的乘積。
1.2實驗目的
（1）提高應用蠻力法設計算法的技能；
（2）深刻理解並掌握分治法的設計思想；
（3）理解這樣一個觀點：用蠻力法設計的算法，一般來說，經過適度的努力后，都可以對其進行改進，以提高算法的效率。
1.3實驗要求
（1）設計並實現用BF(Brute-Force，即蠻力法)方法求解矩陣相乘問題的算法；
（2）設計並實現用DAC（Divide-And-Conquer，即分治法）方法求解矩陣相乘問題的算法；
（3）以上兩種算法的輸入既可以手動輸入，也可以自動生成；
（4）對上述兩個算法進行時間復雜性分析，並設計實驗程序驗證分析結果；
（5）設計可供用戶選擇算法的交互式菜單(放在相應的主菜單下)。
2 解決方案
2.1 分治法原理簡述
分治法的設計思想是：將一個難以直接解決的大問題，分割成一些規模較小的相同問題，以便各個擊破，分而治之。
分治策略是：對於一個規模為n的問題，若該問題可以容易地解決（比如說規模n較小）則直接解決，否則將其分解為k個規模較小的子問題，這些子問題互相獨立且與原問題形式相同，遞歸地解這些子問題，然后將各子問題的解合並得到原問題的解。這種算法設計策略叫做分治法。
如果原問題可分割成k個子問題，1<k≤n ，且這些子問題都可解並可利用這些子問題的解求出原問題的解，那么這種分治法就是可行的。由分治法產生的子問題往往是原問題的較小模式，這就為使用遞歸技術提供了方便。在這種情況下，反復應用分治手段，可以使子問題與原問題類型一致而其規模卻不斷縮小，最終使子問題縮小到很容易直接求出其解。這自然導致遞歸過程的產生。分治與遞歸像一對孿生兄弟，經常同時應用在算法設計之中，並由此產生許多高效算法。
分治法所能解決的問題一般具有以下幾個特征：
1) 該問題的規模縮小到一定的程度就可以容易地解決
2) 該問題可以分解為若干個規模較小的相同問題，即該問題具有最優子結構性質。
3) 利用該問題分解出的子問題的解可以合並為該問題的解；
4) 該問題所分解出的各個子問題是相互獨立的，即子問題之間不包含公共的子問題。
2.2 分治法求解矩陣相乘原理
首先了解一下傳統計算矩陣相乘的原理：
其次，看一下優化后的矩陣相乘法原理：
最后，看一下本文利用分治法求解矩陣相乘的原理（ＰＳ：本文求解其效率不是最高，主要是體驗一下分治法，重點在於分治法）：
注意：使用分治法求解兩個nxn階矩陣相乘，其中n值為2的冪值，否則只能使用蠻力法計算。
本文具體源碼主要根據以上分塊矩陣方法，先分塊（即使用分治法），然后遞歸求解。
2.3 具體實現源碼
package com.liuzhen.dac; public class Matrix { //初始化一個隨機nxn階矩陣 public static int[][] initializationMatrix(int n){ int[][] result = new int[n][n]; for(int i = 0;i < n;i++){ for(int j = 0;j < n;j++){ result[i][j] = (int)(Math.random()*10); //采用隨機函數隨機生成1~10之間的數 } } return result; } //蠻力法求解兩個nxn和nxn階矩陣相乘 public static int[][] BruteForce(int[][] p,int[][] q,int n){ int[][] result = new int[n][n]; for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<n;j++){ result[i][j] = 0; for(int k=0;k<n;k++){ result[i][j] += p[i][k]*q[k][j]; } } } return result; } //分治法求解兩個nxn和nxn階矩陣相乘 public static int[][] DivideAndConquer(int[][] p,int[][] q,int n){ int[][] result = new int[n][n]; //當n為2時，返回矩陣相乘結果 if(n == 2){ result = BruteForce(p,q,n); return result; } //當n大於3時，采用采用分治法，遞歸求最終結果 if(n > 2){ int m = n/2; int[][] p1 = QuarterMatrix(p,n,1); int[][] p2 = QuarterMatrix(p,n,2); int[][] p3 = QuarterMatrix(p,n,3); int[][] p4 = QuarterMatrix(p,n,4); // System.out.println(); // System.out.print("矩陣p1值為："); // PrintfMatrix(p1,m); // System.out.println(); // System.out.print("矩陣p2值為："); // PrintfMatrix(p2,m); // System.out.println(); // System.out.print("矩陣p3值為："); // PrintfMatrix(p3,m); // System.out.println(); // System.out.print("矩陣p4值為："); // PrintfMatrix(p4,m); int[][] q1 = QuarterMatrix(q,n,1); int[][] q2 = QuarterMatrix(q,n,2); int[][] q3 = QuarterMatrix(q,n,3); int[][] q4 = QuarterMatrix(q,n,4); int[][] result1 = QuarterMatrix(result,n,1); int[][] result2 = QuarterMatrix(result,n,2); int[][] result3 = QuarterMatrix(result,n,3); int[][] result4 = QuarterMatrix(result,n,4); result1 = AddMatrix(DivideAndConquer(p1,q1,m),DivideAndConquer(p2,q3,m),m); result2 = AddMatrix(DivideAndConquer(p1,q2,m),DivideAndConquer(p2,q4,m),m); result3 = AddMatrix(DivideAndConquer(p3,q1,m),DivideAndConquer(p4,q3,m),m); result4 = AddMatrix(DivideAndConquer(p3,q2,m),DivideAndConquer(p4,q4,m),m); result = TogetherMatrix(result1,result2,result3,result4,m); } return result; } //獲取矩陣的四分之一，並決定返回哪一個四分之一 public static int[][] QuarterMatrix(int[][] p,int n,int number){ int rows = n/2; //行數減半 int cols = n/2; //列數減半 int[][] result = new int[rows][cols]; switch(number){ case 1 : { // result = new int[rows][cols]; for(int i=0;i<rows;i++){ for(int j=0;j<cols;j++){ result[i][j] = p[i][j]; } } break; } case 2 : { // result = new int[rows][n-cols]; for(int i=0;i<rows;i++){ for(int j=0;j<n-cols;j++){ result[i][j] = p[i][j+cols]; } } break; } case 3 : { // result = new int[n-rows][cols]; for(int i=0;i<n-rows;i++){ for(int j=0;j<cols;j++){ result[i][j] = p[i+rows][j]; } } break; } case 4 : { // result = new int[n-rows][n-cols]; for(int i=0;i<n-rows;i++){ for(int j=0;j<n-cols;j++){ result[i][j] = p[i+rows][j+cols]; } } break; } default: break; } return result; } //把均分為四分之一的矩陣，聚合成一個矩陣，其中矩陣a,b,c,d分別對應原完整矩陣的四分中1、2、3、4 public static int[][] TogetherMatrix(int[][] a,int[][] b,int[][] c,int[][] d,int n){ int[][] result = new int[2*n][2*n]; for(int i=0;i<2*n;i++){ for(int j=0;j<2*n;j++){ if(i<n){ if(j<n){ result[i][j] = a[i][j]; } else result[i][j] = b[i][j-n]; } else{ if(j<n){ result[i][j] = c[i-n][j]; } else{ result[i][j] = d[i-n][j-n]; } } } } return result; } //求兩個矩陣相加結果 public static int[][] AddMatrix(int[][] p,int[][] q,int n){ int[][] result = new int[n][n]; for(int i=0;i<n;i++){ for(int j=0;j<n;j++){ result[i][j] = p[i][j]+q[i][j]; } } return result; } //控制台輸出矩陣 public static void PrintfMatrix(int[][] matrix,int n){ for(int i=0;i<n;i++){ System.out.println(); for(int j=0;j<n;j++){ System.out.print("\t"); System.out.print(matrix[i][j]); } } } public static void main(String args[]){ int[][] p = initializationMatrix(8); int[][] q = initializationMatrix(8); System.out.print("矩陣p初始化值為："); PrintfMatrix(p,8); System.out.println(); System.out.print("矩陣q初始化值為："); PrintfMatrix(q,8); int[][] bf_result = BruteForce(p,q,8); System.out.println(); System.out.print("蠻力法計算矩陣p*q結果為："); PrintfMatrix(bf_result,8); int[][] dac_result = DivideAndConquer(p,q,8); System.out.println(); System.out.print("分治法計算矩陣p*q結果為："); PrintfMatrix(dac_result,8); } }
2.4 運算結果截圖
參考資料：