我們知道$\mathbb C$可以看做是$2$元數,再來看四元數$\mathbb H$,他的基是$1,\mathbf i,\mathbf j,\mathbf k$,並且按照下面的乘法表運算
| $1$ | $\mathbf i$ | $\mathbf j$ | $\mathbf k$ | |
| $1$ | $1$ | $\mathbf i$ | $\mathbf j$ | $\mathbf k$ |
| $\mathbf i$ | $\mathbf i$ | $-1$ | $\mathbf k$ | $-\mathbf j$ |
| $\mathbf j$ | $\mathbf j$ | $-\mathbf k$ | $-1$ | $\mathbf i$ |
| $\mathbf k$ | $\mathbf k$ | $\mathbf j$ | $-\mathbf i$ | $-1$ |
由乘法表可以看出$\mathbb H$是一個非交換的結合代數.$\mathbb H$的每個元素類似於復數域$\mathbb C$可被唯一表示成$$\mathbf q=\alpha+\beta\mathbf i+\gamma\mathbf j+\sigma\mathbf k$$其中$\alpha,\beta,\gamma,\sigma\in\mathbb R$.可以類似的定義共軛四元數的概念$$\overline{\mathbf q}=\alpha-\beta\mathbf i-\beta\mathbf j-\sigma\mathbf k$$我們不難驗證非零的四元數$\mathbb H^*:=\mathbb H\setminus \{0\}$具有群的結構,並且構成無限階的非交換群,其幺元是$1$.稱為四元數代數乘法群.
類似於$\mathbb C$,我們還可以定義四元數$\mathbf q$的模長的概念$$|\mathbf q|^2:=\mathbf q\cdot\mathbf q^*=\alpha^2+\beta^2+\gamma^2+\sigma^2$$如果我們把四元數對應其共軛看做是一個映射$\pi:\mathbf q\to\overline{\mathbf q}$,利用如下共軛的運算律\begin{align*}\overline{\left(k\mathbf q_1+l\mathbf q_2\right)}&=k\overline{\mathbf q}+l\overline{\mathbf q_2},k,l\in\mathbb R\\\overline{\mathbf q_1\cdot\mathbf q_2}&=\overline{\mathbf q_2}\cdot\overline{\mathbf q_1}\\|\mathbf q_1\cdot\mathbf q_2|&=|\mathbf q_1|\cdots|\mathbf q_2|\end{align*}顯然$\pi$是$\mathbb H$的一個反自同構.而映射$\phi:\mathbf q\to|\mathbf q|$是乘法群$\mathbb H^*$到乘法群$\mathbb R^*$的一個同態,同態核$$\mathrm{Ker}\phi:=\{\mathbf q\in\mathbb H:|\mathbf q|=1\}\leq \mathbb H^*$$稱為辛群(也就是那些模長為$1$的四元數關於乘法構成的群).如果只考慮$\mathbf{i,j,k}$在$\mathrm{Ker}\phi$中的生成話便會得到一個更簡單的子群$$\mathbb Q_8=\{\pm 1,\pm\mathbf i,\pm\mathbf j,\pm\mathbf k\}$$構成一個$8$階非交換群,稱為Hamilton四元數群.
事實上由將$\mathbf{i,j,k}$分別取下列矩陣便能得到一個更為具體的$\mathbb Q_8$的例子,取$$1=E_2,\mathbf i=\left(\begin{matrix}0&1\\-1&0\end{matrix}\right),\mathbf j=\left(\begin{matrix}0&\sqrt{-1}\\\sqrt{-1}&0\end{matrix}\right),\mathbf k=\mathbf{ij}=\left(\begin{matrix}\sqrt{-1}&0\\0&-\sqrt{-1}\end{matrix}\right)$$
事實上之所要建立四元數,源於矢量問題,二維向量我們可以通過復數來研究,因為每個二維向量都對應平面中的一個復數$a+b\sqrt{-1}$.但是如果是三維向量的運算與復數運算差別太大,向量的內積並不是代數運算,而叉乘不滿足結合律、交換律.Hamilton發現要建立一個相容的新的數系就必須放棄數的乘法的交換性,從而創立了四元數.