線性求逆元

來自

要求線性內求出1-n中所有數的逆元\((n<=3000000)\)
這時候\(nlog(n)\)算法就有點懸了
所以需要一種\(O(n)\)的算法
這個方法是這樣的
首先\(1^{-1} \equiv 1 \pmod p\)
然后我們設\(p = k\cdot i + r,~r < i,~1 < i < p\)
再將這個式子放到\(\mod p\)意義下就會得到

\[k\cdot i + r \equiv 0 \pmod p \]

兩邊同時乘上\(i^{-1}\cdot r^{-1}\)就會得到

\[k\cdot r^{-1}+i^{-1}\equiv 0\pmod p \]

\[i^{-1}\equiv -k\cdot r^{-1} \pmod p \]

\[i^{-1}\equiv -\left\lfloor\frac{p}{i}\right\rfloor\cdot \left(p\bmod i\right)^{-1} \pmod p\ \]

於是就可以從前面推出當前的逆元了，代碼也就一行

A[i]=-(p/i)*A[p%i];

#include<iostream>
#include<cstdio>
#define N 3000005
using namespace std;

typedef long long ll;

ll _inv[N];  
void pre(int MOD){  
    _inv[0]=_inv[1]=1;  
    for(int i=2;i<N;i++)
        _inv[i]=((MOD-MOD/i)*_inv[MOD%i])%MOD;  
}    
int main(){  
    int n,p;
    cin>>n>>p;
    pre(p);
    for(int i=1;i<=n;++i)
    	printf("%d\n",_inv[i]);
    return 0;  
}  

\[ k\cdot r^{-1} + i^{-1} &\equiv& 0 &\pmod p
i^{-1} &\equiv& -k\cdot r^{-1} &\pmod p
i^{-1} &\equiv& -\left\lfloor\frac{p}{i}\right\rfloor\cdot \left(p\bmod i\right)^{-1} &\pmod p \]