三角函數知識點

前言

梳理、總結三角函數的常用的知識點，有助於相關運算。

必須熟記

特殊角的三角函數值，是三角函數學習的基礎，必須熟練掌握。

\(\theta(rad)\)	\(0=0^{\circ}\)	\(\cfrac{\pi}{12}=15^{\circ}\)	\(\cfrac{\pi}{6}=30^{\circ}\)	\(\cfrac{\pi}{4}=45^{\circ}\)	\(\cfrac{\pi}{3}=60^{\circ}\)	\(\cfrac{5\pi}{12}=75^{\circ}\)
\(sin\theta\)	\(0\)	\(\cfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)	\(\cfrac{1}{2}\)	\(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)
\(cos\theta\)	\(1\)	\(\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)	\(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\cfrac{1}{2}\)	\(\cfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)
\(tan\theta\)	\(0\)	\(2-\sqrt{3}\)	\(\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)	\(1\)	\(\sqrt{3}\)	\(2+\sqrt{3}\)

\(\theta(rad)\)	\(\cfrac{\pi}{2}=90^{\circ}\)	\(\cfrac{7\pi}{12}=105^{\circ}\)	\(\cfrac{2\pi}{3}=120^{\circ}\)	\(\cfrac{3\pi}{4}=135^{\circ}\)	\(\cfrac{5\pi}{6}=150^{\circ}\)	\(\pi=180^{\circ}\)
\(sin\theta\)	\(1\)	\(\cfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)	\(\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\cfrac{1}{2}\)	\(0\)
\(cos\theta\)	\(0\)	\(-\cfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)	\(-\cfrac{1}{2}\)	\(-\cfrac{\sqrt{2}}{2}\)	\(-\cfrac{\sqrt{3}}{2}\)	\(-1\)
\(tan\theta\)	\(\infty\)	\(-(2+\sqrt{3})\)	\(-\sqrt{3}\)	\(-1\)	\(-\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)	\(0\)

常用結論

• 高頻變形公式

\(2sin\theta cos\theta=sin2\theta\)；\(2cos^2\theta-1=1-2sin^2\theta=cos2\theta\)；

\(asin\theta+bcos\theta=\sqrt{a^2+b^2}\left(\cfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}sin\theta+\cfrac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}cos\theta\right)\)

\(=\sqrt{a^2+b^2}(cos\phi\cdot sin\theta+sin\phi\cdot cos\theta)\)

\(=\sqrt{a^2+b^2}sin(\theta+\phi)\;\;(備注：tan\phi=\cfrac{b}{a})\)

• 再把\(\theta\Longrightarrow (2x+\cfrac{\pi}{3})\)試試看，考查整體思想。

• 常用的勾股數\(3n，4n，5n(n\in N^*)\)；\(5，12，13\)；\(7，24，25\)；\(8，15，17\)；\(9，40，41\)；

如已知\(\alpha\)為第二象限角，\(\sin\alpha+\cos\alpha=\cfrac{1}{5}\)，則可知，\(\sin\alpha=\cfrac{4}{5}\)，\(\cos\alpha=-\cfrac{3}{5}\)，

再如已知\(\alpha\)為第二象限角，\(\sin\alpha+\cos\alpha=-\cfrac{1}{5}\)，則可知，\(\sin\alpha=\cfrac{3}{5}\)，\(\cos\alpha=-\cfrac{4}{5}\)，

• 需要我們爛熟於心的三角變形：

\(sin\theta\pm cos\theta=\sqrt{2}sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{4})\)；\(\sqrt{2}sin\theta\pm \sqrt{2}cos\theta=2sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{4})\)；

\(\cfrac{\sqrt{3}}{2}sin\theta\pm\cfrac{1}{2}cos\theta=sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{6})\)；\(\cfrac{1}{2}sin\theta\pm\cfrac{\sqrt{3}}{2}cos\theta=sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{3})\)；

\(\sqrt{3}sin\theta\pm cos\theta=2sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{6})\)；\(sin\theta\pm\sqrt{3}cos\theta=2sin(\theta\pm\cfrac{\pi}{3})\)；

• 在\(\Delta ABC\)中，已知\(\angle A=\cfrac{\pi}{3}\)，求\(sinB+sinC=sinB+sin(\cfrac{2\pi}{3}-B)\)；\(sinB\cdot sinC=sinB\cdot sin(\cfrac{2\pi}{3}-B)\)；

• 三角函數的單調區間的演示

• 在銳角\(\Delta ABC\)中，\(sinA>cosB\)，\(cosA<sinB\)。

證明：由於在銳角\(\Delta ABC\)中，故\(A+B>\cfrac{\pi}{2}\)，即\(A>\cfrac{\pi}{2}-B\)，此時\(A\in(0,\cfrac{\pi}{2})\)，\(\cfrac{\pi}{2}-B\in(0,\cfrac{\pi}{2})\)，而函數\(y=sinx\)在\((0,\cfrac{\pi}{2})\)上是單調遞增的，故\(sinA>sin(\cfrac{\pi}{2}-B)=cosB\)，即\(sinA>cosB\)，

同理，函數\(y=cosx\)在\((0,\cfrac{\pi}{2})\)上是單調遞減的，故\(cosA<cos(\cfrac{\pi}{2}-B)=sinB\)，即\(cosA<sinB\)。

• 在\(\Delta ABC\)中，$A>B\Leftrightarrow sinA>sinB\Leftrightarrow a>b $(利用正弦定理和大角對大邊可證明)

在\(\Delta ABC\)中，\(A>B\Leftrightarrow cosA<cosB\)(利用余弦函數的單調性可證明)

• “\(a^2+b^2>c^2\)”是“\(\triangle ABC\)是銳角\(\triangle\)”的必要不充分條件；

“\(a^2+b^2<c^2\)”是“\(\triangle ABC\)是鈍角\(\triangle\)”的充分不必要條件；

“\(a^2+b^2=c^2\)”是“\(\triangle ABC\)是\(Rt\triangle\)”的充分不必要條件；

• 求值：\(sin^21^{\circ}+sin^22^{\circ}+sin^23^{\circ}+\cdots+sin^288^{\circ}+sin^289^{\circ}=\)

分析：\(sin^21^{\circ}+sin^289^{\circ}=1\)，\(sin^22^{\circ}+sin^288^{\circ}=1\)，\(\cdots\)，\(sin^244^{\circ}+sin^246^{\circ}=1\)，\(sin^245^{\circ}=\cfrac{1}{2}\)，

故原式=\(44+\cfrac{1}{2}=44.5\)。

\(cos^21^{\circ}+cos^22^{\circ}+cos^23^{\circ}+\cdots+cos^288^{\circ}+cos^289^{\circ}=44.5\)

\((1+tan22^{\circ})(1+tan23^{\circ})=2\)

5、已知\(tan\alpha=\cfrac{1}{2}\)，求\(sin^4\alpha-cos^4\alpha\)的值。

【法1】：方程組法，由\(\left\{\begin{array}{l}{\cfrac{sin\alpha}{cos\alpha}=\cfrac{1}{2}}\\{sin^2\alpha+cos^2\alpha=1}\end{array}\right.\)，

解得\(sin^2\alpha=\cfrac{1}{5}\)，\(cos^2\alpha=\cfrac{4}{5}\)，

代入得到\(sin^4\alpha-cos^4\alpha=-\cfrac{3}{5}\)；

【法2】：齊次式法，\(sin^4\alpha-cos^4\alpha=(sin^2\alpha-cos^2\alpha)(sin^2\alpha+cos^2\alpha)=sin^2\alpha-cos^2\alpha\)

\(=-cos2\alpha=-\cfrac{cos^2\alpha-sin^2\alpha}{sin^2\alpha+cos^2\alpha}=\cfrac{1-tan^2\alpha}{1+tan^2\alpha}=-\cfrac{3}{5}\)；

【法3】：由\(\cfrac{sin\alpha}{cos\alpha}=\cfrac{1}{2}\)，引入比例因子，可設\(sin\alpha=k\)，\(cos\alpha=2k(k\neq 0)\)，

由\(k^2+(2k)^2=1\)，可得\(k^2=\cfrac{1}{5}\)，故\(k^4=\cfrac{1}{25}\)，

則\(sin^4\alpha-cos^4\alpha=k^4-(2k)^4=-15k^4=-\cfrac{3}{5}\)；

6、三角函數章節中的重要不等式：\(\theta\in (0，\cfrac{\pi}{2})\)時，\(sin\theta<\theta<tan\theta\)。

【證法1】：三角函數線法，如圖所示為單位圓，則\(sin\theta=MP\)，\(tan\theta=AT\)，\(\overset{\frown}{AP}=\theta\cdot 1=\theta\)

由圖可知，\(S_{\Delta OAP}<S_{扇形 OAP}<S_{\Delta OAT}\)

即\(\cfrac{1}{2}\cdot |OA|\cdot MP<\cfrac{1}{2}\cdot \theta \cdot |OA|<\cfrac{1}{2}\cdot |OA|\cdot AT\)

則有\(MP<\theta< AT\)，即\(sin\theta<\theta<tan\theta\)。

故\(\theta\in (0，\cfrac{\pi}{2})\)時，\(sin\theta<\theta<tan\theta\)。

【證法2】：構造函數法，如令\(g(x)=sinx-x\)，\(x\in (0，\cfrac{\pi}{2})\)，

則\(g'(x)=cosx-1\leq 0\)恆成立，故\(g(x)\)在\(x\in (0，\cfrac{\pi}{2})\)上單調遞減，

故\(g(x)<g(0)=0\)，即\(sinx<x\)，同理可證\(x<tanx\)，

故\(\theta\in (0，\cfrac{\pi}{2})\)時，\(sin\theta<\theta<tan\theta\)。

7、已知角\(\theta\)是第Ⅲ象限角，求\(\cfrac{\theta}{2}\)所在的象限。

【法1】：計算法，由於角\(\theta\)是第Ⅲ象限角，

則\(2k\pi+\pi<\theta<2k\pi+\cfrac{3\pi}{2}(k\in Z)\)，

則\(k\pi+\cfrac{\pi}{2}<\cfrac{\theta}{2}<k\pi+\cfrac{3\pi}{4}(k\in Z)\)，以下針對\(k\)分奇偶討論：

①當\(k=2n，n\in Z\)時，\(2n\pi+\cfrac{\pi}{2}<\cfrac{\theta}{2}<2n\pi+\cfrac{3\pi}{4}(n\in Z)\)，故\(\cfrac{\theta}{2}\)是第Ⅱ象限的角；

②當\(k=2n+1，n\in Z\)時，\(2n\pi+\pi+\cfrac{\pi}{2}<\cfrac{\theta}{2}<2n\pi+\pi+\cfrac{3\pi}{4}(n\in Z)\)，故\(\cfrac{\theta}{2}\)是第Ⅳ象限的角；

【法2】：八卦圖法，有人對上述解法圖形化如下：先將每一個象限都二等分，然后每一個小部分都作以標記，如圖所示，最后在圖中尋找標號為\(3\)的部分，從而找到所在的象限。

如圖，\(\cfrac{\theta}{2}\)是第Ⅱ象限的角或是第Ⅳ象限的角；

8、三角函數中的齊次式

比如：\(\cfrac{a\sin\theta+b\cos\theta}{c\sin\theta+d\cos\theta}\xlongequal[分子分母是sin\theta,cos\theta的一次齊次式]{分子分母同除以cos\theta}\cfrac{a\tan\theta+b}{c\tan\theta+d}\) (\(a,b,c,d\)為常數)；

小結：實現了二元\(sin\theta、cos\theta\)向一元\(tan\theta\)的轉化；

比如：\(\cfrac{\sin2\theta-\cos^2\theta}{1+\sin^2\theta}=\cfrac{2sin\theta cos\theta-cos^2\theta}{2sin^2\theta+cos^2\theta}\xlongequal[分子分母是sin\theta,cos\theta的二次齊次式]{分子分母同除以cos^2\theta}\cfrac{2tan\theta-1}{2tan^2\theta+1}\)

小結：實現了二元\(sin\theta、cos\theta\)向一元\(tan\theta\)的轉化；

再比如：\(a\sin2\theta+b\cos2\theta=\cfrac{a\sin2\theta+b\cos2\theta}{sin^2\theta+cos^2\theta}=\cfrac{a\tan\theta+b-b\tan^2\theta}{tan^2\theta+1}\)，

其余留作思考：\(\sin2\theta\)， \(\cos2\theta\)，\(1+\sin2\theta\)， \(2-\cos2\theta\)，\(3\sin2\theta-2\cos2\theta\) 等等

9、三角公式的擴展：

\(1+cos\theta=2cos^2\cfrac{\theta}{2}\)；\(1-cos\theta=2sin^2\cfrac{\theta}{2}\)

\(1+sin\theta=(sin\cfrac{\theta}{2}+cos\cfrac{\theta}{2})^2\)；\(1-sin\theta=(sin\cfrac{\theta}{2}-cos\cfrac{\theta}{2})^2\)；

\(1+sin\theta+cos\theta=1+cos\theta+sin\theta=2cos^2\cfrac{\theta}{2}+2sin\cfrac{\theta}{2}cos\cfrac{\theta}{2}=2cos\cfrac{\theta}{2}(cos\cfrac{\theta}{2}+sin\cfrac{\theta}{2})\)

\(1+sin\theta-cos\theta=1-cos\theta+sin\theta=2sin^2\cfrac{\theta}{2}+2sin\cfrac{\theta}{2}cos\cfrac{\theta}{2}=2sin\cfrac{\theta}{2}(cos\cfrac{\theta}{2}+sin\cfrac{\theta}{2})\)

\(1-sin\theta+cos\theta=1+cos\theta-sin\theta=2cos^2\cfrac{\theta}{2}-2sin\cfrac{\theta}{2}cos\cfrac{\theta}{2}=2cos\cfrac{\theta}{2}(cos\cfrac{\theta}{2}-sin\cfrac{\theta}{2})\)

\(1-sin\theta-cos\theta=1-cos\theta-sin\theta=2sin^2\cfrac{\theta}{2}-2sin\cfrac{\theta}{2}cos\cfrac{\theta}{2}=2sin\cfrac{\theta}{2}(sin\cfrac{\theta}{2}-cos\cfrac{\theta}{2})\)

在\(\Delta ABC\)中，\(sin(A+B)=sinC\)；\(cos(A+B)=-cosC\)；\(tan(A+B)=-tanC\)；

\(sin\cfrac{A+B}{2}=cos\cfrac{C}{2}\)；\(cos\cfrac{A+B}{2}=sin\cfrac{C}{2}\)；

10、平方關系的應用

\(sin\alpha+cos\alpha\)，\(sin\alpha-cos\alpha\)，\(sin\alpha\cdot cos\alpha\)，知一求二意味着知道其中的一個，就能表達另外的兩個式子；方程思想；

如求函數\(h(x)=sinx\pm cosx\pm sinx\cdot cosx\)類型的值域；

求函數\(f(x)=sinx+cosx+sinx\cdot cosx\)的值域；

令\(sinx+cosx=t\)，則\(t=\sqrt{2}sin(x+\cfrac{\pi}{4})\)，則\(t\in [-\sqrt{2}，\sqrt{2}]\)；

給\(sinx+cosx=t\)兩邊平方，整理得到\(sinx\cdot cosx=\cfrac{t^2-1}{2}\)，

故原函數\(f(x)=g(t)=t+\cfrac{t^2-1}{2}\)，\(t\in [-\sqrt{2}，\sqrt{2}]\)；

轉化划歸為二次函數在給定區間上的值域問題；

再比如\(g(x)=\cfrac{2sinx cosx}{sinx+cosx}，x\in [0，\cfrac{\pi}{2}]\)的值域；