一筆畫問題 （歐拉定理+圖的連通性）

描述

zyc從小就比較喜歡玩一些小游戲，其中就包括畫一筆畫，他想請你幫他寫一個程序，判斷一個圖是否能夠用一筆畫下來。

規定，所有的邊都只能畫一次，不能重復畫。

• 輸入

  第一行只有一個正整數N(N<=10)表示測試數據的組數。每組測試數據的第一行有兩個正整數P,Q(P<=1000,Q<=2000)，分別表示這個畫中有多少個頂點和多少條連線。（點的編號從1到P）隨后的Q行，每行有兩個正整數A,B(0<A,B<P)，表示編號為A和B的兩點之間有連線。

• 輸出

  如果存在符合條件的連線，則輸出"Yes",如果不存在符合條件的連線，輸出"No"。

• 樣例輸入

2
4 3
1 2
1 3
1 4
4 5
1 2
2 3
1 3
1 4
3 4

• 樣例輸出

No
Yes

分析

原文

歐拉定理 如果一個網絡是連通的並且奇頂點的個數等於0或2，那么它可以一筆畫出；否則它不可以一筆畫出。

判斷一筆畫的方法：

　　①是連通的。一個圖，如果圖上任意二點總有線段連接着，就稱為連通的。不是連通的就不能一筆畫出。

　　②奇點個數是0或者是2。圖上線段的端點可以分成二類，奇點和偶數。一個點，以它為端點的線段數是奇數就稱為奇點，線段數是偶數就稱為偶點。

　　一個圖是否是一筆畫就看奇點的個數，奇點個數是 0 或者 2，就是一筆畫，否則就不是一筆畫。

所以這個問題完全可以轉化策略為：

​ 第一步： 首先我們不管它三七二十幾，先進行連通性的判斷。

​ 第二步：

​ （1）如果是連通的，我們來判斷此圖的度的奇點的個數是0或者是2 ，如果是，則說明這個是歐拉圖，即可以一筆畫出，反之則不能一筆畫出

​ （2）如果是非連通的，這說明這個圖很定不能一筆畫出。

#include<bits/stdc++.h>
#define maxv 1001
using namespace std;
int p,q;
int vest[maxv];
int du[maxv];
void init(int n)
{
    for(int i=0;i<=n;i++ )
        vest[i]=i;
        memset(du,0,sizeof(du));
}
int findx(int t)
{
    if(vest[t]==t)return t;
    return vest[t]=findx(vest[t]);
}
void mergex(int a,int b)
{
    int x=findx(a);
    int y=findx(b);
    if(x!=y)
        vest[x]=y;

}
int main()
{
    //freopen("2.txt","r",stdin);
    int t;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&p,&q);
        init(q);
        for(int i=0; i<q; i++)
        {
            int a,b;
            scanf("%d%d",&a,&b);
            du[a]++;
            du[b]++;
            mergex(a,b);
        }
        int sum1=0;
        for(int i=1;i<=p;i++)
        {
            if(vest[i]==i)
                sum1++;
            if(sum1>=2)break;
        }
        if(sum1>=2)
        {
            printf("No\n");
        }
        else
        {
            int sum2=0;
            for(int i=1;i<=p;i++)
                if(du[i]%2==1)
            {
                sum2++;
            }
            if(sum2==0||sum2==2)
                printf("Yes\n");
            else printf("No\n");
        }

    }
    return 0;
}