這是DFS系列的第二篇
In graph theory, a bridge, isthmus, cut-edge, or cut arc is an edge of a graph whose deletion increases its number of connected components. Equivalently, an edge is a bridge if and only if it is not contained in any cycle. A graph is said to be bridgeless or isthmus-free if it contains no bridges.
Let $G = (V, E)$ be a connected, undirected graph, a bridge of $G$ is an edge whose removal disconnects $G$. (Introduction to Algorithms p.621)
注意：割邊這一概念只適用於無向圖，不適用於有向圖，因為有向圖的連通性和無向圖的連通性是完全不同的兩個概念。對於某有向圖 $G$，簡單地稱它連通是很不完善的。有向圖的連通性有強連通（strongly connected）和半連通（semiconnected）兩種常見的提法。上面英文描述中的“graph”及下文中的“圖”均指無向圖。
割邊 （cut edge）也稱作橋（bridge）是刪除后能使圖的連通分量增加的邊。
下面我們只考慮沒有重邊的無向圖。
考慮一個連通的無向圖 $G$，若它含有某條割邊 $(u, v)$，那么去掉這條邊后，將得到2個連通圖 $G'$，$H'$，而不可能得到 $2$ 個以上連通圖，因為一條邊最多能將 $2$ 個連通圖合為一個聯通圖。（這句話貌似和上下文無關）
下面介紹求無向圖所有割邊的Tarjan算法（Tarjan's Bridge-Finding Algorithm）
我們只考慮對無向連通圖 $G$ 求割邊，若圖 $G$ 不連通那么就對 $G$ 的各個連通分量求割邊。
我們知道 DFS 一個無向圖將其所有邊分成兩類，樹邊（tree edge）與回邊（back edge）。顯然地，割邊只能是樹邊而絕不可能是回邊。
考慮 一條樹邊 $(u\to v)$ 是割邊 的條件。這條件應當是在DFS樹中，以 $v$ 為根的子樹（簡稱子樹 $v$）中的所有節點都沒有連向 $u$ 的祖先節點（包括 $u$ 本身）的回邊，也就是說子樹 $v$ 僅僅靠着邊 $(u,v)$ 和其他節點保持連通。
為了判斷上述條件，我們在 DFS 過程中記錄每個節點的 dfn 值與 low 值，樹邊 $(u\to v)$ 是割邊的充要條件即是 \(\color{blue}{\mathrm{low}[v]>\mathrm{dfn}[u]}\) 。
struct edge{
int to, nt;
bool flag;
}E[MAX_E<<1];
int head[MAX_V];
int dfn[MAX_V], low[MAX_V];
int ts; //time stamp
void dfs(int u, int f){
dfs[u]=low[u]=++ts;
for(int i=head[i]; ~i; i=E[i].nt){
int &v=E[i].to;
if(!dfn[v]){ //tree edge
dfs(v, f);
low[u]=min(low[u], low[v]);
if(low[v]>dfn[u]){
e[i].flag=e[i^1].flag=true;
}
}
else if(v!=f&&dfn[v]<dfn[u]){ //back edge
low[u]=min(low[u], dfn[v]);
}
}
}
void solve(int N){
memset(dfn, 0, sizeof(dfn));
ts=0;
for(int i=1; i<=N; i++)
if(!dfn[i]) dfs(i, i);
}
現在考慮有重邊的情況。這時上面的寫法不能識別所有回邊。首先明確一點：不論是否有重邊，DFS 都將所有邊分成樹邊與回邊兩類。
但是按上面的寫法，所有重邊要么全是樹邊，要么全是回邊，因而不能識別所有回邊（這並不是 DFS 算法本身有問題，而是寫法有問題）。這是因為 DFS 的參數是 $u$（當前節點）和 $f$（當前節點的父親節點），我們判斷回邊的依據是
else if(v!=f&&dfn[v]<dfn[u]){ //back edge
low[u]=min(low[u], dfn[v]);
}
解決辦法是將參數 $u$換成樹邊 $( u\to f )$ 的編號。
struct edge{
int to, nt, id;
bool tag;
}E[MAX_N<<1];
int head[MAX_N];
int dfn[MAX_N], low[MAX_N], ts; //time_stamp
void dfs(int u, int te){
dfn[u]=low[u]=++ts;
for(int i=head[u]; ~i; i=E[i].nt){
int &v=E[i].to, &id=E[i].id;
if(!dfn[v]){ //tree_edge
dfs(v, id);
low[u]=min(low[u], low[v]);
if(low[v]>dfn[u])
e[i].tag=true;
}
else if(id!=te&&dfn[v]<dfn[u]){ //back_edge
low[u]=min(low[u], dfn[v]);
}
}
}
一般來說，沒必要在結構體 edge 內加個變量 id，按通常的建圖方式，無向邊的 ID 就是其對應的某條有向邊的 ID 右移一位。