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零.強連通圖，強連通分量
- 強連通圖定義：在有向圖G中，如果任意兩個不同的頂點相互可達，則稱該有向圖是強連通的。
舉個例子：下圖有三個子圖（強連通分量）：{1,4,5}，{2,3}，{6}
- 求強連通分量的作用：把有向圖中具有相同性質的點找出來（求強連通分量），縮點，建立縮圖，能夠方便地進行其它操作
一.floyd算法
算法思想：如果任意兩個不同的頂點相互可達，則這兩點在同一強連通分量
- 因為效率極低，不常使用，但理解極為簡單
//核心代碼
for(int k=1;k<=n;++k)//枚舉中間點
for(int i=1;i<=n;++i)
for(int j=1;j<=n;++j)
if(g[i][k]&&g[k][j]) g[i][j]=1;
for(int i=1;i<=n;++i)//計算連通分量數
{
if(!vis[i]) vis[i]=++col;
for(int j=1;j<=n;++j)
if(g[i][j]==g[j][i]) vis[j]=vis[i];//同屬一個連通分量
}
二.Tarjan算法
算法思想：
tarjan算法基於對圖深度優先搜索，用棧存儲整個強連通分量，將每一個強連通分量作為搜索樹上的一個子樹，而這個圖，就是一個完整的搜索樹。
DFN[ ]存儲點的搜索次序編號，LOW[ ]存儲強連通分量（對應搜索樹上的一個）子樹的根
判斷強連通分量：一個點出棧時 DFN==LOW
來看一個例子：
銜接：搜索到1，LOW[4]變為1
//核心代碼
void tarjan(int x)
{
dfn[x]=low[x]=++tot;//新進點的初始化。
stack[++index]=x;//進棧
visit[x]=1;//表示在棧里
for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if(!dfn[v])//如果沒訪問過
{
darjan(v);//遞歸訪問
low[x]=min(low[x],low[v]);//比較誰是誰的父親/兒子,父親相當於強連通分量子樹最小根
}
else if(visit[v]) low[x]=min(low[x],dfn[v]);//如果訪問過，並且還在棧里。
}
if(low[x]==dfn[x])//是強連通分量子樹里的最小根
{
++num;//分量數加一
do{
printf("%d ",stack[index]);
visit[stack[index--]]=0;
}while(x!=stack[index+1]);
puts("");
}
}
三.Kosaraju算法
算法思想：
Kosaraju算法，基於兩次DFS
第一次DFS：對原圖進行深度優先遍歷，記錄每個頂點的離開時間。
第二次DFS：選擇具有最晚離開時間的頂點，對反向圖進行深度優先遍歷，並標記能夠遍歷到的頂點，這些頂點構成一個強連通分量
舉個栗子：
-
深搜順序：
-
對原圖進行深度優先遍歷后，頂點的離開時間分別為：
1離開時間為7， 4離開時間為6，
2離開時間為5， 3離開時間為4，
5離開時間為3， 6離開時間為2，
7離開時間為1。 -
則按頂點按離開時間從大到小排列的序列為：1、4、2、3、5、6、7，
-
按上述序列對反向圖進行深度優先遍歷，屬於同一次深度優先遍歷的頂點則屬於同一個強連
-
結果：{1,2}，{3}，{4}，{5,6,7}
//核心代碼
void dfs1(int x)
{
vis[x]=1;
for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if(!vis[i]) dfs1(v);
}
stack[++index]=x;
}
void dfs2(int x)
{
vis[x]=index;
for(int i=head[x];i;i=e[i].next)
{
int v=e[i].to;
if(!vis[v]) dfs2(i);
}
}
int main()
{
for(int i=1;i<=n;++i)
if(!vis[i]) dfs1(i);
memset(vis,0,sizeof(vis)); index=0;
for(int i=1;i>=1;--i)//出棧，連通分量染色
if(!vis[i]) ++index,dfs2(stack[i]);
}
四.總結與對比
Kosaraju算法的優勢:
該算法依次求出的強連通分量已經符合拓撲排序.
Tarjan算法的優勢：
相比Kosaraju算法擁有時間和空間上的巨大優勢.
使用范圍：
一般圖中選用Tarjan算法，涉及求圖的拓撲性質時則選用Kosaraju算法
圖片來自百度文庫