無向圖的連通性與相關問題
一、相關概念：
給定一張無向圖\(G=(V,E)\):
１、割點：若\(x\in V\)，從圖中刪去ｘ以及與ｘ相連的邊后，圖不連通，則ｘ為割點。
２、割邊：若\(e\in E\)，從圖中刪去邊ｅ后，圖不連通，則ｅ為割邊（橋）。
３、點（邊）雙聯通分量：一張圖不存在割點（邊），則此圖為點（邊）雙連通分量。
４、歐拉路、歐拉回路、歐拉圖：若有一條從S到T的路徑，滿足恰好經過每一條邊一次，則該路徑為歐 拉路；特別地，當S=T時，此路為歐拉回路；一張所有點度數都為偶數的連通無向圖為歐拉圖。
二、Tarjan與割邊、割點：
Tarjan能夠在線性時間內求無向圖的割點與割邊。
對於Tarjan算法中定義的相關數組與變量不在贅述，直接講一下判定法則。
割邊判定法則：如果對於當前搜索點x，存在一條邊\(e=(x,y)\)，滿足\(low[y]>dfn[x]\)，則e為割邊。
code：
void Tarjan(int x,int fx) {
RG int i,y;
dfn[x]=low[x]=++Time;
for(i=head[x];i;i=e[i].next)
if(!dfn[y=e[i].to]) {
Tarjan(y,x),low[x]=min(low[x],low[y]);
if(low[y]>dfn[x]) bri[i]=bri[i^1]=1;//成對儲存，邊從2開始
}
else if(y!=fx) low[x]=min(low[x],dfn[y]);
}
割邊判定法則：如果對於當前搜索點x，滿足\(low[y]≥dfn[x]\)，則x是割點。
不過，需要注意的是，當x為Tarjan算法的起點時，x至少需要有兩個上述節點才是割點。
void tarjan(int x) {
RG int i,k,y,num=0;
dfn[x]=low[x]=++Time;
for(i=head[x];i;i=e[i].next)
if(!dfn[y=e[i].to]) {
tarjan(y),low[x]=min(low[x],low[y]);
if(dfn[x]<=low[y])
if(x!=RT||++num>1) cut[x]=1;
}
else low[x]=min(low[x],dfn[y]);
}
三、Tarjan與雙連通分量
記點雙連通分量為\(v-DCC\)，邊雙連通分量為\(e-DCC\)。
\(e-DCC\) 求法：去掉圖中的所有的割邊，剩下的每一個連通塊都是一個$e-DCC $（直接dfs即可）。
\(e-DCC\) 縮點：直接把每一個連通塊對應一個節點即可，可以得到一棵樹（或森林）。
void dfs(int x) {// 划分連通塊
RG int i,y;
vis[x]=1,bel[x]=cnt;// 標記該點為所在e-DCC編號
for(i=head[x];i;i=e[i].next)
if(!vis[y=e[i].to]&&!bri[i]) dfs(y);
}
\(v-DCC\) 求法：不是直接去掉所有的割點，剩下的每一個連通塊都是一個\(v-DCC\)！
因為一條割邊只能在一個\(e-DCC\)中，但是一個割點去能在多個\(v-DCC\)中。
所以可以用棧維護一下經過的節點，當存在\(low[y]≥dfn[x]\)成立時，無論x是否為根，都彈棧到y為止
所有這些彈出來的點與點x構成一個\(v-DCC\)。
\(v-DCC\) 縮點：每一個的\(v-DCC\)看成一個節點，同時每一個割點也單獨看成一個節點。
每一個\(v-DCC\)向它包含的每一個割點連邊，得到一顆樹。事實上這棵樹很棒！(下方的鏈接隨筆e.e.)
割點的記錄在新建的點上，其他點記錄在對應的\(v-DCC\)上。
for(i=1;i<=n;++i)
if(cut[i]) bel[i]=++cnt,mtx[cnt]=1;
for(i=1,New();i<=cnt;++i)
for(j=0;j<vec[i].size();++j) // vec 存的是v-DCC的節點（含割點）
if(cut[x=vec[i][j]]) make(i,bel[x]);
else bel[x]=i;
利用縮點，我們就可以進一步解決有關無向圖必經邊、必經點的問題！←想了解？←。
四、歐拉路問題
無解判定：當且僅當每個點的度都為偶數才存在歐拉回路。
此處僅貼一下\(dfs\)求歐拉回路的模板（遞歸版）：
void dfs(int x) {
RG int i,y;
for(i=head[x];i;i=e[i].next) {
y=e[i].id;
if(!vis[y]) vis[y]=1,dfs(e[i].to),sta[++top]=y;
// 將棧中的節點倒序輸出就是一條具體的歐拉回路方案
}
}