原文：http://blog.csdn.net/jacke121/article/details/55804353
向量是由n個實數組成的一個n行1列（n*1）或一個1行n列（1*n）的有序數組；
向量的點乘,也叫向量的內積、數量積，對兩個向量執行點乘運算，就是對這兩個向量對應位一一相乘之后求和的操作，點乘的結果是一個標量。
點乘公式
對於向量a和向量b：
a和b的點積公式為：
要求一維向量a和向量b的行列數相同。
點乘幾何意義
點乘的幾何意義是可以用來表征或計算兩個向量之間的夾角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式：
推導過程如下，首先看一下向量組成：
定義向量：
根據三角形余弦定理有：
根據關系c=a-b（a、b、c均為向量）有：
即：
向量a，b的長度都是可以計算的已知量，從而有a和b間的夾角θ：
根據這個公式就可以計算向量a和向量b之間的夾角。從而就可以進一步判斷這兩個向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向關系，具體對應關系為：
a·b>0 方向基本相同，夾角在0°到90°之間
a·b=0 正交，相互垂直
a·b<0 方向基本相反，夾角在90°到180°之間
叉乘公式
兩個向量的叉乘，又叫向量積、外積、叉積，叉乘的運算結果是一個向量而不是一個標量。並且兩個向量的叉積與這兩個向量組成的坐標平面垂直。
對於向量a和向量b：
a和b的叉乘公式為：
其中：
根據i、j、k間關系，有：
叉乘幾何意義
在三維幾何中，向量a和向量b的叉乘結果是一個向量，更為熟知的叫法是法向量，該向量垂直於a和b向量構成的平面。
在3D圖像學中，叉乘的概念非常有用，可以通過兩個向量的叉乘，生成第三個垂直於a，b的法向量，從而構建X、Y、Z坐標系。如下圖所示：
在二維空間中，叉乘還有另外一個幾何意義就是：aXb等於由向量a和向量b構成的平行四邊形的面積。
向量：u=(u1,u2,u3) v=(v1,v2,v3)
叉積公式：u x v = { u2v3-v2u3 ,u3v1-v3u1 ,u1v2-u2v1 }
點積公式：u * v = u1v1+u2v2+u3v33=lul*lvl*COS(U,V)
對於向量的運算,還有兩個“乘法”,那就是點乘和叉乘了.點乘的結果就是兩個向量的模相乘,然后再與這兩個向量的夾角的余弦值相乘.或者說是兩個向量的各個分量分別相乘的結果的和.很明顯,點乘的結果就是一個數,這個數對我們分析這兩個向量的特點很有幫助.如果點乘的結果為0,那么這兩個向量互相垂直；如果結果大於0,那么這兩個向量的夾角小於90度；如果結果小於0,那么這兩個向量的夾角大於90度.對於叉乘,它的運算公式令人頭暈,我就不說了,大家看下面的公式自己領悟吧……
向量c的方向與a,b所在的平面垂直,且方向要用“右手法則”判斷（用右手的四指先表示向量a的方向,然后手指朝着手心的方向擺動到向量b的方向,大拇指所指的方向就是向量c的方向）.
若向量a=(a1,b1,c1),向量b=(a2,b2,c2),
則
向量a·向量b=a1a2+b1b2+c1c2
向量a×向量b=
| i j k|
|a1 b1 c1|
|a2 b2 c2|
=(b1c2-b2c1,c1a2-a1c2,a1b2-a2b1)
（i、j、k分別為空間中相互垂直的三條坐標軸的單位向量）.
叉乘的意義就是通過兩個向量來確定一個新的向量,該向量與前兩個向量都垂直