[C/C++] 快速冪講解

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快速冪這個東西比較好理解，但實現起來到不老好辦，記了幾次老是忘，今天把它系統的總結一下防止忘記。

　　首先，快速冪的目的就是做到快速求冪，假設我們要求a^b,按照朴素算法就是把a連乘b次，這樣一來時間復雜度是O(b)也即是O(n)級別，快速冪能做到O(logn)，快了好多好多。它的原理如下：

　　假設我們要求a^b，那么其實b是可以拆成二進制的，該二進制數第i位的權為2^(i-1)，例如當b==11時，a^11=a^(2^0+2^1+2^3)

　　11的二進制是1011，11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1，因此，我們將a¹¹轉化為算 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3) ，看出來快的多了吧原來算11次，現在算三次，但是這三項貌似不好求的樣子....不急，下面會有詳細解釋。

　　由於是二進制，很自然地想到用位運算這個強大的工具： &  和 >> ，&運算通常用於二進制取位操作，例如一個數 & 1 的結果就是取二進制的最末位。還可以判斷奇偶x&1==0為偶，x&1==1為奇。>>運算比較單純,二進制去掉最后一位，不多說了，先放代碼再解釋。

int poww(int a,int b){
    int ans=1,base=a;
    while(b!=0){
        if(b&1!=0)
        　　ans*=base;
        base*=base;
        b>>=1;
　 }
    return ans;
}

　　代碼很短，死記也可行，但最好還是理解一下吧，其實也很好理解，以b==11為例，b=>1011,二進制從右向左算，但乘出來的順序是 a^(2^0) * a^(2^1)  * a^(2^3)，是從左向右的。我們不斷的讓base*=base目的即是累乘，以便隨時對ans做出貢獻。

　　其中要理解base*=base這一步，看：：：base*base==base^2,下一步再乘，就是base^2*base^2==base^4,然后同理  base^4 * base4 = base^8 ,,,,, see?是不是做到了base-->base^2-->base^4-->base^8-->base^16-->base^32.......指數正是 2^i 啊，再看上面的例子，a¹¹ =  a^(2^0) * a^(2^1) * a^(2^3)，這三項是不是完美解決了，，嗯，快速冪就是這樣。

　　順便啰嗦一句，由於指數函數是爆炸增長的函數，所以很有可能會爆掉int的范圍，根據題意決定是用 long long啊還是unsigned int啊還是mod某個數啊自己看着辦。

　　還有，矩陣快速冪的求法唯一的區別就是*換成矩陣中的乘法，寫個函數代換嘛，思想一毛一樣。