快速冪講解

　　快速冪這個東西比較好理解，但實現起來到不老好辦，記了幾次老是忘，今天把它系統的總結一下防止忘記。

　　首先，快速冪的目的就是做到快速求冪，假設我們要求a^b,按照朴素算法就是把a連乘b次，這樣一來時間復雜度是O(b)也即是O(n)級別，快速冪能做到O(logn)，快了好多好多。它的原理如下：

　　假設我們要求a^b，那么其實b是可以拆成二進制的，該二進制數第i位的權為2^(i-1)，例如當b==11時

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　    a¹¹=a^{(2^0+2^1+2^3)}

　　 11的二進制是1011，11 = 2³×1 + 2²×0 + 2¹×1 + 2º×1，因此，我們將a¹¹轉化為算 a^{2^0}*a^{2^1}*a^{2^3}，也就是a¹*a²*a⁸

，看出來快的多了吧原來算11次，現在算三次，但是這三項貌似不好求的樣子....不急，下面會有詳細解釋。                                                                                             

 

　　由於是二進制，很自然地想到用位運算這個強大的工具：&和>>    

&運算通常用於二進制取位操作，例如一個數 & 1 的結果就是取二進制的最末位。還可以判斷奇偶x&1==0為偶，x&1==1為奇。

>>運算比較單純,二進制去掉最后一位，不多說了，先放代碼再解釋。

 

　　

int poww(int a, int b) {
    int ans = 1, base = a;
    while (b != 0) {
        if (b & 1 != 0)
            ans *= base;
            base *= base;
            b >>= 1;
    }
    return ans;
}

 

　　代碼很短，死記也可行，但最好還是理解一下吧，其實也很好理解，以b==11為例，b=>1011,二進制從右向左算，但乘出來的順序是 a^(2^0)*a^(2^1)*a^(2^3)，是從左向右的。我們不斷的讓base*=base目的即是累乘，以便隨時對ans做出貢獻。

　　其中要理解base*=base這一步：因為 base*base==base²，下一步再乘，就是base²*base²==base⁴，然后同理  base⁴*base⁴=base⁸，由此可以做到base-->base²-->base⁴-->base⁸-->base¹⁶-->base³².......指數正是 2^i ，再看上面的例子，a¹¹= a¹*a²*a⁸，這三項就可以完美解決了，快速冪就是這樣。

　　順便啰嗦一句，由於指數函數是爆炸增長的函數，所以很有可能會爆掉int的范圍，根據題意選擇 long long還是mod某個數自己看着辦。

　　矩陣快速冪也是這個道理，下面放一個求斐波那契數列的矩陣快速冪模板

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int mod = 10000;
const int maxn = 35;
int N;
struct Matrix {
    int mat[maxn][maxn];
    int x, y;
    Matrix() {
        memset(mat, 0, sizeof(mat));
        for (int i = 1; i <= maxn - 5; i++) mat[i][i] = 1;
    }
};
inline void mat_mul(Matrix a, Matrix b, Matrix &c) {
    memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat));
    c.x = a.x; c.y = b.y;
    for (int i = 1; i <= c.x; i++) {
        for (int j = 1; j <= c.y; j++) {
            for (int k = 1; k <= a.y; k++) {
                c.mat[i][j] += (a.mat[i][k] * b.mat[k][j]) % mod;
                c.mat[i][j] %= mod;
            }
        }
    }
    return ;
}
inline void mat_pow(Matrix &a, int z) {
    Matrix ans, base = a;
    ans.x = a.x; ans.y = a.y;
    while (z) {
        if (z & 1 == 1) mat_mul(ans, base, ans);
        mat_mul(base, base, base);
        z >>= 1;
    }
    a = ans;
}
int main() {
    while (cin >> N) {
        switch (N) {
            case -1: return 0;
            case 0: cout << "0" << endl; continue;
            case 1: cout << "1" << endl; continue;
            case 2: cout << "1" << endl; continue;
        }
        Matrix A, B;
        A.x = 2; A.y = 2;
        A.mat[1][1] = 1; A.mat[1][2] = 1;
        A.mat[2][1] = 1; A.mat[2][2] = 0;
        B.x = 2; B.y = 1;
        B.mat[1][1] = 1; B.mat[2][1] = 1;
        mat_pow(A, N - 1);
        mat_mul(A, B, B);
        cout << B.mat[1][1] << endl;
    }
    return 0;
}