C++快速冪詳解

快速冪

關於快速冪這一塊還是需要做一個總結，寫一篇博客捋捋思路，加深理解。

為什么要用快速冪？

例如：現在有一個題目讓你求 ab $a^b$ ,你可能覺得很簡單啊，來一個for循環，循環b-1次就行了。但是如果b非常大的情況下，那這個做法是非常低效的，時間復雜度大致為 O(b)。

當用快速冪之后，時間復雜度為O(logn)。

快速冪例子

例如我們用快速冪求 211 $2^{11}$ 。

將指數拆分能夠得到如下的結果。

211=220+21+23 $$2^{11}=2^{2^0+2^1+2^3}$$

學過進制轉換看到11拆開的樣子肯定會很眼熟，其實這里就是跟二進制有關。

11的二進制為1011 , 11=23∗1+22∗0+21∗1+20∗1 $11=2^3\ast 1+2^2\ast 0+2^1\ast 1+2^0\ast 1$

這樣一來，我們求 211 $2^{11}$就不需要算10次了，現在三次就夠了。

211=220∗221∗223 $$2^{11}=2^{2^0}\ast 2^{2^1}\ast 2^{2^3}$$

到這里以后，我們可能會覺得后邊的這三項似乎不好求。

不着急，我們先上代碼。

int poww(int a,int b){
    int ans=1,base=a;
    while(b!=0){
        if(b&1!=0)
        　　ans*=base;
        base*=base;
        b>>=1;
　 }
    return ans;
}

代碼短小精悍，但是，我還是不太建議刻意去記它，容易忘。理解之后，自然就記住了。

我們將 211 $2^{11}$ 帶入代碼走一遍或許你就能夠理解了。

其實程序就是自左到右求那三項的值。

211=220∗221∗223 $2^{11}=2^{2^0}\ast 2^{2^1}\ast 2^{2^3}$

上邊我們已經知道11的二進制為1011

程序參數a = 2,b =11

ans =1,base = 2

到if判斷處，11最后一位明顯是1，那么我們就需要與結果變量res相乘。

其實，這里的相乘的就是 220 $2^{2^0}$ ，乘完之后res = 2.

到第六行代碼處，base自乘。這一步我給大家詳細解釋一下：

base*base = base2 $bas{e}^2$ , base2∗base2=base4 $bas{e}^2\ast bas{e}^2=bas{e}^4$ , base4∗base4=base8 $bas{e}^4\ast bas{e}^4=bas{e}^8$ , base8∗base8=base16 $bas{e}^8\ast bas{e}^8=bas{e}^{16}$

有沒有發現一個問題，每次自乘的結果如下：

base2、base4、base8、base16、base32 $bas{e}^2、bas{e}^4、bas{e}^8、bas{e}^{16}、bas{e}^{32}$

我們換種寫法你會更明白：

base21、base22、base23、base24、base25 $bas{e}^{2^1}、bas{e}^{2^2}、bas{e}^{2^3}、bas{e}^{2^4}、bas{e}^{2^5}$

你會發現和上邊我們要求的一樣。

211=220∗221∗223 $2^{11}=2^{2^0}\ast 2^{2^1}\ast 2^{2^3}$

無非是base = 2。

b >>= 1右移一位，他的作用是將1011變成101–>10–>1

當b的最后一位為0時，不乘base，為1的時候成base。

211=220∗221∗223 $2^{11}=2^{2^0}\ast 2^{2^1}\ast 2^{2^3}$

這樣我們能夠讓res乘上上邊的三項，而不乘上2^{2^2}。

其實就是根據b的二進制來判斷是否乘上二的階乘。

如果b最后一位為1，也就是說 2x $2^x$對b有貢獻，所以我們結果乘上base。

否則，我們結果不需要乘base，但是base需要自乘，因為二進制位中左邊的權重更大一些。

矩陣快速冪，他的思想和快速冪的思想是一樣的。無非就是 底數變為矩陣了。所以你只需定義一下矩陣的乘法即可。