C++快速幂详解

快速幂

关于快速幂这一块还是需要做一个总结，写一篇博客捋捋思路，加深理解。

为什么要用快速幂？

例如：现在有一个题目让你求 ab $a^b$ ,你可能觉得很简单啊，来一个for循环，循环b-1次就行了。但是如果b非常大的情况下，那这个做法是非常低效的，时间复杂度大致为 O(b)。

当用快速幂之后，时间复杂度为O(logn)。

快速幂例子

例如我们用快速幂求 211 $2^{11}$ 。

将指数拆分能够得到如下的结果。

211=220+21+23 $$2^{11}=2^{2^0+2^1+2^3}$$

学过进制转换看到11拆开的样子肯定会很眼熟，其实这里就是跟二进制有关。

11的二进制为1011 , 11=23∗1+22∗0+21∗1+20∗1 $11=2^3\ast 1+2^2\ast 0+2^1\ast 1+2^0\ast 1$

这样一来，我们求 211 $2^{11}$就不需要算10次了，现在三次就够了。

211=220∗221∗223 $$2^{11}=2^{2^0}\ast 2^{2^1}\ast 2^{2^3}$$

到这里以后，我们可能会觉得后边的这三项似乎不好求。

不着急，我们先上代码。

int poww(int a,int b){
    int ans=1,base=a;
    while(b!=0){
        if(b&1!=0)
        　　ans*=base;
        base*=base;
        b>>=1;
　 }
    return ans;
}

代码短小精悍，但是，我还是不太建议刻意去记它，容易忘。理解之后，自然就记住了。

我们将 211 $2^{11}$ 带入代码走一遍或许你就能够理解了。

其实程序就是自左到右求那三项的值。

211=220∗221∗223 $2^{11}=2^{2^0}\ast 2^{2^1}\ast 2^{2^3}$

上边我们已经知道11的二进制为1011

程序参数a = 2,b =11

ans =1,base = 2

到if判断处，11最后一位明显是1，那么我们就需要与结果变量res相乘。

其实，这里的相乘的就是 220 $2^{2^0}$ ，乘完之后res = 2.

到第六行代码处，base自乘。这一步我给大家详细解释一下：

base*base = base2 $bas{e}^2$ , base2∗base2=base4 $bas{e}^2\ast bas{e}^2=bas{e}^4$ , base4∗base4=base8 $bas{e}^4\ast bas{e}^4=bas{e}^8$ , base8∗base8=base16 $bas{e}^8\ast bas{e}^8=bas{e}^{16}$

有没有发现一个问题，每次自乘的结果如下：

base2、base4、base8、base16、base32 $bas{e}^2、bas{e}^4、bas{e}^8、bas{e}^{16}、bas{e}^{32}$

我们换种写法你会更明白：

base21、base22、base23、base24、base25 $bas{e}^{2^1}、bas{e}^{2^2}、bas{e}^{2^3}、bas{e}^{2^4}、bas{e}^{2^5}$

你会发现和上边我们要求的一样。

211=220∗221∗223 $2^{11}=2^{2^0}\ast 2^{2^1}\ast 2^{2^3}$

无非是base = 2。

b >>= 1右移一位，他的作用是将1011变成101–>10–>1

当b的最后一位为0时，不乘base，为1的时候成base。

211=220∗221∗223 $2^{11}=2^{2^0}\ast 2^{2^1}\ast 2^{2^3}$

这样我们能够让res乘上上边的三项，而不乘上2^{2^2}。

其实就是根据b的二进制来判断是否乘上二的阶乘。

如果b最后一位为1，也就是说 2x $2^x$对b有贡献，所以我们结果乘上base。

否则，我们结果不需要乘base，但是base需要自乘，因为二进制位中左边的权重更大一些。

矩阵快速幂，他的思想和快速幂的思想是一样的。无非就是 底数变为矩阵了。所以你只需定义一下矩阵的乘法即可。