全局照明算法基礎——從輻射亮度到渲染方程

　　全局照明（Global Illumination）問題上已經有很多著名的算法，如路徑追蹤（Path Tracing），輻照度（Radiosity）等。絕大部分書籍/教材都直接介紹了做法，在理論方面有所欠缺（比如算法的正確性）。這段時間在看《Advanced Global Illumination》，大呼爽快，所以做了這些筆記。

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一、方向和立體角

　　立體角（Solid Angle）是平面角的推廣。如上圖，考慮一塊不規則的曲面，其在單位球體（球心在原點，半徑）上的投影為曲面，則的面積為該曲面對應的立體角。根據定義易知，任何包含原點的球體對應的立體角都為。如果用球坐標來刻畫立體角，那么其微分可以被表示為

此外，根據立體角的定義，可以給出任何曲面元對應立體角的計算公式——

其示意圖如下：

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二、Radiance的定義

　　考慮密度函數，它給出在時空坐標處單位體積內沿方向、波長為的光子的數量。那么給定位置、時間、方向以及波長，容易知道單位時間內沿方向通過面元的、波長在間的光子的能量為

其中是這些光子的速度。在波長范圍、全體立體角、曲面上對積分得

這就是曲面上的輻射通量（Flux）的定義。

　　類似地，定義輻射照度（Irradiance）為

輻射強度（Intensity）為

以及輻射亮度（Radiance）——

這幾個量間有以下關系：

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三、Radiance的守恆性質

　　從的定義可知，Radiance是空間位置和方向的函數可以寫作，表示從空間位置出發、朝向的Radiance。（類似地，表示空間位置處朝方向的Radiance）若與間沒有遮擋，則有以下重要性質成立：

　　證明：

　　如上圖，由Radiance的定義有

其中是從出發向發射的能量。根據能量守恆，它們必定都被接收，即

又由立體角的性質

代入得

整理即得。

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四、以Radiance來量度傳感設備響應

　　攝像機、人眼等感光設備所得到的光的量度可以用Radiance來衡量，而非Flux等。由此可以得出一些結論，比如一個明亮的物體隨着觀察者距離的增加不會顯得更暗，這是因為在光的傳播過程中Radiance不隨距離改變。 

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五、BRDF

　　一束光照射到某個表面上，反射的效果隨着表面的材質有所不同。譬如，理想的鏡子會把所有的入射光反射到某個特定的方向，而在其他方向上的反射光為0；理想的Lambertian表面會把入射光往所有的方向均勻地反射。反射光在不同方向上的多少分布，再結合入射光的方向所構成的函數，稱為bidirectional reflectance distribution function（BRDF），記作，表示沿方向照射到處的光在方向上的分布。准確地說：

並非所有的物體表面的反射都能用BRDF來建模，譬如通透的玉石（入射光可以從某一處進入玉石內部，然后從另一處穿出）等。一個把透明物體的表面納入考慮的函數叫做bidirectional scattering distribution function（BSDF），它描述了所有方向的入射光和出射光的分布；Bidirectional surface scattering reflectance distribution function（BSSRDF）則更加強大（使用起來也更為困難），它可以描述前面提到的通透的玉石對光的作用。在這里，為了簡化問題，假設所有的物體表面都使用BRDF描述。

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六、BRDF的幾個性質

　　由BRDF的性質可知，某不透明的、不發光的表面上某一點處朝的Radiance是此點反射外來光的結果，可表示為

其中是從方向來的光在方向上反射的結果。根據BRDF的定義有

於是，

該式在之后會介紹的渲染方程中扮演了重要的角色。

　　Reciprocity：規定任意BRDF滿足，由此，不妨將BRDF記作。

　　能量守恆：單位面積的入射能量為

而單位面積反射的總能量為

於是由能量守恆：

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七、渲染方程（The Rendering Equation）

　　可以被分為兩部分：處自身向方向發出的光和點反射外來光產生的光。即

其中是自發光項，是反射項。根據6中的推導，反射項可以被表示為

代入得

這就是所謂的渲染方程。可以看到該方程是遞歸的，且包含了一個不易計算的積分（只有在某些極簡單的場景下才能求出解析解）。幾乎所有的全局照明算法都是在求解渲染方程，因此稱其為圖形學的理論基石之一也不為過。